Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Do 23.11.2006 | | Autor: | clwoe |
| Aufgabe | Es gilt a,b [mm] \in \IR [/mm] und a,b>0.
Zeige das [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(a+1)(2a+1)...(na+1)}{(b+1)(2b+1)...(nb+1)}
[/mm]
nur dann konvergiert wenn a<b ist. |
Hallo,
irgendwie muss ich ja einen Zugang zur Aufgabe finden, also habe ich mir die Reihe genau angeschaut und festgestellt, das es sich hier um eine Reihe handelt, die nur positive Summanden hat. Die Folge der Partialsummen ist also monoton wachsend. Es gibt einen Satz aus der Vorlesung, der sagt, wenn eine Reihe monoton wachsend ist, also nur positive Summanden hat, konvergiert sie genau dann wenn die zugehörige Folge beschränkt ist. Das heißt, wenn ich also zeigen kann, das die zugehörige Folge, was ja hier eine Produktfolge ist, beschränkt ist, dann konvergiert die ganze Reihe. Genau dies habe ich versucht zu zeigen nur mit mäßigem Erfolg. Denn wie gesagt, die eigentliche Folge hinter der Partialsumme ist ja eine Produktfolge. Ich habe mir gedacht, diese ist genau dann beschränkt, wenn die zugehörige Folge der Produktfolge beschränkt ist.
Also:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(a+1)(2a+1)...(na+1)}{(b+1)(2b+1)...(nb+1)}=\summe_{n=1}^{\infty}\produkt_{n=1}^{\infty}\bruch{na+1}{nb+1}
[/mm]
Ich versuche also nur zu zeigen, das [mm] \bruch{na+1}{nb+1} [/mm] beschränkt ist. Also mache ich: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{na+1}{nb+1}=\bruch{a}{b}
[/mm]
Also läuft der Bruch gegen den Grenzwert [mm] \bruch{a}{b} [/mm] und ist somit konvergent, somit muss die Produktfolge und auch die Reihe konvergieren.
Allerdings bin ich mir nicht ganz sicher, ob das so richtig ist und ob das überhaupt einen Sinn macht, denn ich soll ja zeigen das er nur konvergiert wenn a<b ist und hier habe ich ja nur gezeigt, dass es gegen [mm] \bruch{a}{b} [/mm] konvergiert!
Vielleicht kann mir jemand sagen, ob das so passt und wenn ich auf dem komplett falschen Dampfer bin, ihr mir vielleicht einen Tipp geben könnt wie man es noch machen kann, denn im Moment fällt mir nichts anderes ein.
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:48 Fr 24.11.2006 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
kann mir denn hier niemand helfen???
Gruß,
clwoe
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Hallo,
guck mal da .
Gruß v. Angela
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