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Mit dieser Kenntnis bekommst du aber schnell eine Begruendung hin: Such dir zwei Folgen [mm] $x^{(1)}_n, $x^{(2)}_n$ [/mm] mit [mm] $x^{(i)}_n \overset{n\to\infty}{\longrightarrow} \infty$, [/mm] $i = 1,2$ so, dass [mm] $\arctan\sin x_n^{(1)}$ [/mm] konstant $> 0$ ist, und dass [mm] $\arctan\sin x_n^{(2)}$ [/mm] konstant $< 0$ ist (also konstant soll heissen: egal welches $n$). Dann kann offensichtlich [mm] $\lim_{x\to\infty} \arctan\sin [/mm] x$ nicht existieren, da der Grenzwert dann sowohl gleich [mm] $\arctan\sin x_n^{(1)}$ [/mm] als auch gleich [mm] $\arctan\sin x_n^{(2)}$ [/mm] sein muesste, was nicht geht.
