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Hallo,
ich habe eine Frage bezüglich der folgenden Funktion:
[mm]f(x) = \frac {1}{cos(x)} [/mm]
Es soll der Grenzwert [mm] x\rightarrow \frac{\pi}{2} [/mm] bestimmt werden, gefolgt von der Frage ob der Grenzwert auch im Komplexen existiert.
Ich hab mir bisher Gedanken gemacht, dass der cosinus in [mm] \frac {\pi}{2} [/mm] definiert ist, das heißt die Funktion f(x) würde gegen [mm]\frac {1}{0}[/mm] gehen, das kann aber auch genauso gut kompletter Mist sein.
Vielen dank schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Mo 11.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich habe eine Frage bezüglich der folgenden Funktion:
> [mm]f(x) = \frac {1}{cos(x)}[/mm]
> Es soll der Grenzwert
> [mm]x\rightarrow \frac{\pi}{2}[/mm] bestimmt werden, gefolgt von der
> Frage ob der Grenzwert auch im Komplexen existiert.
>
> Ich hab mir bisher Gedanken gemacht, dass der cosinus in
> [mm]\frac {\pi}{2}[/mm] definiert ist, das heißt die Funktion f(x)
> würde gegen [mm]\frac {1}{0}[/mm] gehen, das kann aber auch genauso
> gut kompletter Mist sein.
Im Komplexen gilt (wie im Reellen):
[mm] \bruch{1}{|cos(z)|} \to \infty [/mm] ( z [mm] \to \frac {\pi}{2})
[/mm]
Die Funktion [mm] \bruch{1}{cos(z)} [/mm] ist auf [mm] \IC [/mm] meromorph und hat in [mm] \frac {\pi}{2} [/mm] einen Pol (1. Ordnung).
FRED
>
> Vielen dank schonmal
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Danke für deine Antwort, den selben Grenzwert habe ich mit etwas Gehirnschmalz auch raus.
Was mich etwas wundert ist der Pol 1. Ordnung. Ich habe noch keine Laurentreihe zur Verfügung, könntest du kurz skizzieren wie man auf Ordnung 1 kommt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Mo 11.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Antwort, den selben Grenzwert habe ich mit
> etwas Gehirnschmalz auch raus.
>
> Was mich etwas wundert ist der Pol 1. Ordnung. Ich habe
> noch keine Laurentreihe zur Verfügung, könntest du kurz
> skizzieren wie man auf Ordnung 1 kommt?
Sei [mm] f(z):=\bruch{1}{cos(z)}. [/mm] f hat in [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] einen Pol der Ordnung 1
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $\limes_{z\rightarrow \bruch{\pi}{2} }(z-\bruch{\pi}{2} [/mm] )f(z)$ ex. in [mm] \IC.
[/mm]
wie fällt [mm] $\limes_{z\rightarrow \bruch{\pi}{2} }(z-\bruch{\pi}{2} [/mm] )f(z)$ aus ?
FRED
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