Grenzen gesucht < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Do 21.06.2012 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | Die Parabel mit der Gleichung [mm]y=x^2-1[/mm] schließt im [mm]\IR^2[/mm] zwischen ihren Nullstellen mit der x-Achse das Flächenstück S ein. Berechnen Sie das Integral
[mm]\iint_{S} 14x^2\cdot x \ dx [/mm] |
Hallo zusammen. Ich suche die Grenzen für mein Integral nach dy, könnt Ihr mir evtl. helfen?
Ich würde es mal so machen:
[mm]\iint_{S} 14x^2\cdot x \ dx = \integral_{-1}^{1}{\integral_{a}^{b} 14x^2\cdot y \ dy \ dx} [/mm]
Nun weiss ich aber nicht was ich für Die Grenzen a und b einsetzen soll.
Danke schon mal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 Do 21.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Parabel mit der Gleichung [mm]y=x^2-1[/mm] schließt im [mm]\IR^2[/mm]
> zwischen ihren Nullstellen mit der x-Achse das
> Flächenstück S ein. Berechnen Sie das Integral
>
> [mm]\iint_{S} 14x^2\cdot x \ dx[/mm]
> Nun weiss ich aber nicht was ich für Die Grenzen ...
> einsetzen soll.
die Nullstellen [mm] $x_{N_1},\;x_{N_2}$ [/mm] von [mm] $p(x):=x^2-1$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] sind doch nun wirklich nicht so schwer zu bestimmen. Selbst, wenn man absolut nicht nachdenken will, rechnet man sie leicht (in unnötig komplizierter Weise) etwa mit der pq-Formel aus:
[mm] $x^2-1=0 \gdw x^2+p*x+(-1)=0\,,$ [/mm] dort ist also [mm] $p:=0\,$ [/mm] und [mm] $q:=-1\,$ [/mm] zu benutzen.
Ein wenig eleganter wird's mit [mm] $x^2-1=x^2-1^2=(x+1)*(x-1)\,.$ [/mm] Und natürlich kann man dann die Punkte [mm] $P_1:=(x_{N_1},\;p(x_{N_1}))=(x_{N_1},\;0)$ [/mm] und [mm] $P_2:=(x_{N_2},\;p(x_{N_2}))=(x_{N_2},\;0)$ [/mm] des Graphen von [mm] $p\,$ [/mm] damit angeben.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Do 21.06.2012 | | Autor: | lzaman |
Hallo Marcel, die Grenzen für [mm] $x_1=1$ [/mm] und [mm] $x_2=-1$ [/mm] habe ich doch schon angegeben. Die Frage bezieht sich doch nur auf die Grenzen des Integrals nach dy.
Obere Grenze wird wohl [mm] $x^2-1$ [/mm] sein. Ich komme nur nicht auf die untere Grenze.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Do 21.06.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo Marcel, die Grenzen für [mm]x_1=1[/mm] und [mm]x_2=-1[/mm] habe ich
> doch schon angegeben. Die Frage bezieht sich doch nur auf
> die Grenzen des Integrals nach dy.
>
> Obere Grenze wird wohl [mm]x^2-1[/mm] sein. Ich komme nur nicht
nein, das ist die untere Grenze. Das Integrationsgebiet wird berandet durch die x-Achse und die Parabel und im Intervall [-1,1] liegt die Parabel unterhalb der x-Achse.
> auf
> die untere Grenze.
Wie wird dann wohl die obere Grenze lauten?
>
> Danke
>
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Do 21.06.2012 | | Autor: | lzaman |
etwa bei y=0?
Dort ist ja der Schnittpunkt der Parabel mit der Geraden oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Do 21.06.2012 | | Autor: | notinX |
>
> etwa bei y=0?
Ja.
>
> Dort ist ja der Schnittpunkt der Parabel mit der Geraden
> oder?
Ja, die Schnittpunkte liegen auf der x-Achse.
>
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 Do 21.06.2012 | | Autor: | lzaman |
Super, jetzt kann ich das Integral lösen:
[mm] \iint_{S} 14x^2\cdot x \ dx = \integral_{-1}^{1}{\integral_{x^2-1}^{0} 14x^2\cdot y \ dy \ dx}= \integral_{-1}^{1} \left(7x^2y^2\bigg|_{x^2-1}^0\right) \ dx= 7 \cdot \integral_{-1}^{1}x^2-x^4 \ dx=7 \cdot \left(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^5}{5}\right) \bigg|_{-1}^1=\dfrac{28}{15}
[/mm]
Ist das alles so korrekt?
Danke für eure Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:22 Fr 22.06.2012 | | Autor: | fred97 |
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> Super, jetzt kann ich das Integral lösen:
>
> [mm]\iint_{S} 14x^2\cdot x \ dx = \integral_{-1}^{1}{\integral_{x^2-1}^{0} 14x^2\cdot y \ dy \ dx}= \integral_{-1}^{1} \left(7x^2y^2\bigg|_{x^2-1}^0\right) \ dx= 7 \cdot \integral_{-1}^{1}x^2-x^4 \ dx=7 \cdot \left(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^5}{5}\right) \bigg|_{-1}^1=\dfrac{28}{15}
[/mm]
>
> Ist das alles so korrekt?
Ja, aber was das [mm] $\iint_{S} 14x^2\cdot [/mm] x \ dx$ soll ist mir nicht klar.
FRED
>
> Danke für eure Hilfe
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:53 Do 21.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel, die Grenzen für [mm]x_1=1[/mm] und [mm]x_2=-1[/mm] habe ich
> doch schon angegeben. Die Frage bezieht sich doch nur auf
> die Grenzen des Integrals nach dy.
sorry, da hab' ich einfach zu flüchtig gelesen. Ich mach' aus meiner Antwort mal eine Mitteilung!
Gruß,
Marcel
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