Grenzen beim Dreifachintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen sie durch Integration das Volumen der Menge, die durch die Menge [mm]Z = \{x, y, z | x^2 + y^2 \le 2ax \}[/mm] aus der Menge [mm]M = \{x, y, z | x^2 + y^2 + z^2 \le 4a^2 \}[/mm] herausgeschnitten wird. Nutzen sie Zylinderkoordinaten. |
Hallo,
ich habe eine Frage zur Bestimmung der Grenzen für obiges Integral. Ich hab mir die Menge Z bereits so veranschaulicht, dass man durchsieht:
[mm]Z = \{x, y, z | (x-a)^2 + y^2 \le a^2 \}[/mm]
Also ist das ein Kreis, dessen Mittelpunkt aber nicht im Ursprung liegt, sondern bei (a, 0). Wenn ich jetzt die Transformationen für die Zylinderkoordinaten anwende, komme ich auf:
[mm]Z = \{r, \alpha | r \le 2acos\alpha \}[/mm]
Mir ist nicht ganz klar, wie ich diese "Grundfläche" des entstehenden Gebietes jetzt mit Integrationsgrenzen "scanne". r müsste ja immer noch von 0 bis a laufen und [mm] \alpha [/mm] immernoch von 0 bis [mm] 2\pi, [/mm] aber damit trage ich ja der Tatsache, dass der Kreis nicht um den Ursprung liegt, keinerlei Rechnung. Das muss ich ja aber offensichtlich. Kann mir jemand helfen, bitte?
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> Berechnen sie durch Integration das Volumen der Menge, die
> durch die Menge [mm]Z = \{x, y, z | x^2 + y^2 \le 2ax \}[/mm] aus
> der Menge [mm]M = \{x, y, z | x^2 + y^2 + z^2 \le 4a^2 \}[/mm]
> herausgeschnitten wird. Nutzen Sie Zylinderkoordinaten.
> Hallo,
> ich habe eine Frage zur Bestimmung der Grenzen für obiges
> Integral. Ich hab mir die Menge Z bereits so
> veranschaulicht, dass man durchsieht:
>
> [mm]Z = \{x, y, z | (x-a)^2 + y^2 \le a^2 \}[/mm]
>
> Also ist das ein Kreis, dessen Mittelpunkt aber nicht im
> Ursprung liegt, sondern bei (a, 0). Wenn ich jetzt die
> Transformationen für die Zylinderkoordinaten anwende,
> komme ich auf:
>
> [mm]Z = \{r, \alpha | r \le 2acos\alpha \}[/mm]
>
> Mir ist nicht ganz klar, wie ich diese "Grundfläche" des
> entstehenden Gebietes jetzt mit Integrationsgrenzen
> "scanne". r müsste ja immer noch von 0 bis a laufen und
> [mm]\alpha[/mm] immernoch von 0 bis [mm]2\pi,[/mm] aber damit trage ich ja
> der Tatsache, dass der Kreis nicht um den Ursprung liegt,
> keinerlei Rechnung. Das muss ich ja aber offensichtlich.
> Kann mir jemand helfen, bitte?
Guten Abend Micha,
M ist ja die Vollkugel mit Radius R=2a und
Zentrum im Nullpunkt. Z ist der Zylinder
mit Achse parallel zur z-Achse durch den
Punkt (a/0) und mit dem Radius a.
Mit Zylinderkoordinaten sind vermutlich
solche gemeint, die dem vorliegenden
Zylinder angepasst sind, also:
[mm] $\alpha \in [0\,...\,2\,\pi]$
[/mm]
$\ r [mm] \in [0\,...\,a]$
[/mm]
[mm] x=a+r*cos(\alpha)
[/mm]
[mm] y=r*sin(\alpha)
[/mm]
Für jedes Zahlenpaar (x,y) innerhalb des
Querschnittskreises des Zylinders muss
dann z von [mm] -\sqrt{(2\,a)^2-x^2-y^2} [/mm] bis [mm] \sqrt{(2\,a)^2-x^2-y^2} [/mm]
laufen. Wegen der vorliegenden Symmetrie
kann man natürlich statt dessen von z=0
bis [mm] z=\sqrt{(2\,a)^2-x^2-y^2} [/mm] integrieren und dann
das Ergebnis verdoppeln.
Allenfalls könnten aber auch Zylinder-
koordinaten der Form
[mm] $\varphi \in [-\pi/2\ ...\,+\pi/2]$
[/mm]
$\ [mm] s\in[0\,...\,2\,a\,cos(\varphi)]$
[/mm]
[mm] x=s*cos(\varphi)
[/mm]
[mm] y=s*sin(\varphi)
[/mm]
in Frage kommen. Dann ginge die Integration
über z von [mm] -\sqrt{4\,a^2-s^2} [/mm] bis [mm] +\sqrt{4\,a^2-s^2} [/mm] .
LG Al-Chw.
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Zu deiner überarbeiteten Version: Wieso muss der Winkel von [mm]-\bruch{\pi}{2}[/mm] bis [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] laufen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Di 07.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das sind andere, nicht die ueblichen Zylinderkoordinaten, sie laufen vom Suedpol zum Nordpol. ich denk vergiss die.
gruss leduart
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Okay, dann nochmal zu seinen ersten Koordinaten: Wenn ich da die Formel, die für z gefunden wurde, auch in Zylinderkoordinaten umschreibe, steht da ja ein massives Konstrukt unter der Wurzel, das ist doch niemals von Hand integrierbar. Gibts da irgendwas, was ich übersehe?
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> Okay, dann nochmal zu seinen ersten Koordinaten: Wenn ich
> da die Formel, die für z gefunden wurde, auch in
> Zylinderkoordinaten umschreibe, steht da ja ein massives
> Konstrukt unter der Wurzel, das ist doch niemals von Hand
> integrierbar. Gibts da irgendwas, was ich übersehe?
Moin Micha,
mit der zweiten vorgeschlagenen Parametrisierung
(Zylinderkoordinaten um die z-Achse) geht's jedenfalls.
Ich habe es ausprobiert.
LG Al
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> Hallo
> Das sind andere, nicht die ueblichen Zylinderkoordinaten,
> sie laufen vom Suedpol zum Nordpol. ich denk vergiss die.
> gruss leduart
Hallo Leduart,
ich glaube, da hast du etwas wichtiges
verwechselt !
Du hast vorher so eine hübsche grafische
Darstellung gebracht. Wenn du dir den
Schnitt des ganzen in der x-y-Ebene
anschaust, dann kannst du sehr schön
sehen, dass man die kleine Kreisfläche
auch radial von O(0/0) aus "scannen"
kann. Der Polarwinkel [mm] \varphi [/mm] muss dabei von
-90° bis +90° laufen, und für jeden
solchen Winkel [mm] \varphi [/mm] läuft der Radius von
0 bis [mm] 2\,a*cos(\varphi) [/mm] !
Gruß Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 Di 07.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
nur ein Bildchen, damit du dirs besser vorstellen kannst:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Berechnen sie durch Integration das Volumen der Menge, die
> durch die Menge [mm]Z = \{x, y, z\ |\ x^2 + y^2 \le 2\,a\,x \}[/mm] aus
> der Menge [mm]M = \{x, y, z\ |\ x^2 + y^2 + z^2 \le 4\,a^2 \}[/mm]
> herausgeschnitten wird. Nutzen Sie Zylinderkoordinaten.
Hallo,
wenn ich mich nicht verrechnet habe, fällt
[mm] \pi [/mm] bei dieser Berechnung heraus. Mit anderen
Worten: wenn a rational ist, wird auch das
Volumen dieses Körpers rational. Es entspricht
einem Neuntel des Volumens des der Kugel M
umbeschriebenen Würfels !
Das ist ähnlich überraschend wie der rationale
Flächeninhalt der "Möndchen des Hippokrates"
beim rechtwinkligen Dreieck mit rationalen
Katheten.
LG Al-Chw.
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