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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:39 Sa 09.11.2013 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Sei U eine offene Menge im [mm] \IR^{n} [/mm] und für $ [mm] x\in [/mm] U $ sei [mm] h^{x} [/mm] die Lösung des Dirichlet-Problems [mm] \laplace h^{x}=0 [/mm] in U und $ [mm] h^{x}=\gamma( \dots [/mm] - x) $ auf dem Rand (falls existent, [mm] \gamma [/mm] ist die Fundamentallösung zur Laplace-Gleichung). Dann ist die Greensche Funktion G von U definiert durch $ G(x,y):= [mm] \gamma(y-x) [/mm] - [mm] h^{x}(y) [/mm] $ für $ x,y [mm] \in [/mm] U, [mm] x\neq [/mm] y $
Zeigen Sie: Ist U invariant unter der Spiegelung [mm] S_{k} [/mm] an der Hyperebene [mm] \{x_{k}=0\} [/mm] und ist [mm] U^{+}:=U\cap\{x_{k}>0\}, [/mm] so ist die Greensche Funktion von [mm] U^{+} [/mm] gegeben durch [mm] G^{+}(x,y)=G(x,y)-G(S_{k}(x),y) [/mm] |
Hallo!
Dazu reicht es zu zeigen, dass die Funktion [mm] h^{x, +}(y):=\gamma(y-x)-G(x,y)+G(S_{k}(x),y) [/mm] das Dirichlet-Problem harmonisch in [mm] U^{+} [/mm] und auf dem Rand $ [mm] \gamma(\dots [/mm] - x) $ löst. Dass sie harmonisch ist, hab ich bereits gezeigt. Der Rand von [mm] U^{+} [/mm] besteht teils aus Rand von U und Teilen der Hyperebene [mm] \{x_{k}=0\}. [/mm] Im ersten Fall hab ich auch gezeigt, dass der Randwert [mm] \gamma(y-x) [/mm] angenommen wird, im zweiten krieg ich das aber irgendwie nicht hin. Dazu müsste ich zeigen, dass [mm] h^{x}(y)=h^{S_{k}(x)}(y) [/mm] ist, aber ich weiß nicht warum das so sein sollte. Ich wollte zeigen, dass die rechte Seite auch das entsprechende Dirichlet-Problem löst, aber das scheint doch nicht der Fall zu sein. Wenn y schon ein Randpunkt von U wäre, so würden die übereinstimmen, da [mm] \gamma [/mm] radial ist, aber im Allgemeinen kann ich da nichts drüber aussagen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 14.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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