Green-Riemann Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 So 14.10.2007 | | Autor: | esp |
| Aufgabe | Berechne
[mm] \integral_{\gamma}^{}{(e^{y^2}-3x^2) dx+(2xye^{y^2}+4xy)dy}
[/mm]
wobei [mm] \gamma [/mm] der weg ist, der im uhrzeuigersinn entlang des kreises mit radius r=1 und Mittelpunkt M = (1,1) läuft!
Hinweis: Verwende Satz von Green-Riemann |
Hi all!
Ich habe mir zur Aufgabe folgende gedanken gemacht:
man sollte das ganze in polarkoordinaten transformieren.
Der Satz on Green-Rieman lautet ja:
[mm] \integral_{C}^{}{P dx +Qdy} [/mm] = [mm] \integral_{B}^{}{\integral_{}^{}{\bruch{\partial P}{\partial y} - \bruch{\partial Q}{\partial x}dx}dy}
[/mm]
Ich kommen nicht ganz auf die Grenze B! Kann man sich diese als Kugel vorstellen?
wie komme ich auf die Grenze B?
bitte um hilfe :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 So 14.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechne
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{(e^{y^2}-3x^2) dx+(2xye^{y^2}+4xy)dy}[/mm]
>
> wobei [mm]\gamma[/mm] der weg ist, der im uhrzeuigersinn entlang des
> kreises mit radius r=1 und Mittelpunkt M = (1,1) läuft!
> Hinweis: Verwende Satz von Green-Riemann
> Hi all!
>
> Ich habe mir zur Aufgabe folgende gedanken gemacht:
> man sollte das ganze in polarkoordinaten transformieren.
> Der Satz on Green-Rieman lautet ja:
> [mm]\integral_{C}^{}{P dx +Qdy} = \integral_{B}^{}{\integral_{}^{}{\bruch{\partial P}{\partial y} - \bruch{\partial Q}{\partial x}dx}dy}[/mm]
>
> Ich kommen nicht ganz auf die Grenze B! Kann man sich diese
> als Kugel vorstellen?
Du bist dir schon darüber klar, dass dies ein Problem in der Ebene ist? B ist die von C umschlossene Fläche. Da C der Einheitskreis um (1,1) ist, ist B die Kreisfläche mit Mittelpunkt (1,1) und Radius 1. Am einfachsten ist es, wenn du diese Fläche in ebenen Polarkoordinaten parametrisierst, also
[mm] \vektor{x\\y} = \vektor {1+r\cos\varphi\\1+r\sin\varphi}, \quad 0\le r\le1,0\le\varphi\le2\pi[/mm]
Das entstehende Doppelintegral ist ganz einfach zu lösen.
Viele Grüße
Rainer
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Du hast das Green-Riemann-Integral folgend aufgeschrieben: [mm] \integral_{C}^{}{P dx +Qdy} [/mm] = [mm] \integral_{B}^{}{\integral_{}^{}{\bruch{\partial P}{\partial y} - \bruch{\partial Q}{\partial x}dx}dy}
[/mm]
Soll es nicht [mm] \integral_{C}^{}{P dx +Qdy} [/mm] = [mm] \integral_{B}^{}{\integral_{}^{}{\bruch{\partial Q}{\partial y} - \bruch{\partial P}{\partial x}dx}dy} [/mm] lauten? Ich kenne nur diese Variante.
--> siehe hierzu: http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Green
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 So 14.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Braunstein,
so wie du den Satz hingeschrieben hast, ist er falsch (und steht auch so nicht in der Wikipedia):
> Du hast das Green-Riemann-Integral folgend aufgeschrieben:
> [mm]\integral_{C}^{}{P dx +Qdy}[/mm] =
> [mm]\integral_{B}^{}{\integral_{}^{}{\bruch{\partial P}{\partial y} - \bruch{\partial Q}{\partial x}dx}dy}[/mm]
>
> Soll es nicht [mm]\integral_{C}^{}{P dx +Qdy}[/mm] =
> [mm]\integral_{B}^{}{\integral_{}^{}{\bruch{\partial Q}{\partial y} - \bruch{\partial P}{\partial x}dx}dy}[/mm]
> lauten? Ich kenne nur diese Variante.
Richtig:
[mm]\iint\limits_{B}{\bruch{\partial Q}{\partial \red{x}} - \bruch{\partial P}{\partial \red{y}}dx}dy}[/mm].
Das unterscheidet sich nur durch das Vorzeichen von esps Formel. Ich weiß nicht, ob das Absicht war oder nicht. Es ist auf jeden Fall zu beachten, dass der Weg [mm]\gamma[/mm] im Uhrzeigersinn durchlaufen wird, also im mathematisch negativen Sinn; das ergibt ein zusätzliches Minuszeichen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 So 14.10.2007 | | Autor: | Braunstein |
Natürlich!!! Sorry.
Ich hab vor lauter "ich-bin-überrascht- nur die Zähler geändert, hab dabei auf die Nenner vergessen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 So 14.10.2007 | | Autor: | esp |
Ach mist!!
habe gerade meinem übungsleiter eine Mail geschrieben, dass er den Satz falsch am übungszettel notiert hat. naja, was solls...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 So 14.10.2007 | | Autor: | Braunstein |
Meinst du den Volker? ;)
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Zum Thema Vorzeichenänderung:
Ich hab mir ein paar Gedanken darüber gemacht, wie das mit dem Vorzeichen gemeint ist. Grundsätzlich gilt bei [mm] \iint\limits_{B}{\bruch{\partial Q}{\partial \red{x}} - \bruch{\partial P}{\partial \red{y}}dx}dy [/mm] doch, dass hier im mathematisch positiven Sinn gerechnet wird. Dies bedeutet nun:
-> [mm] \integral_{B}^{}{\bruch{\partial P}{\partial y} dxdy} [/mm] entspricht dann [mm] -\integral_{C}{}Pdx [/mm] ... mathematisch negative Richtung
-> [mm] \integral_{B}^{}{-\bruch{\partial P}{\partial y} dxdy} [/mm] entspricht dann [mm] \integral_{C}{}Pdx [/mm] ... mathematisch positive richtung
Ist das so gemeint?
Gruß, h.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 So 14.10.2007 | | Autor: | esp |
nein.
beim integrieren im mathematisch negativen sinn, tauscht man einfach die Grenzen (nicht von 0 bis 2 pi, sondern von 2 pi bis 0).
außerdem steht der Satz auf meinem Übungszettel ein beispiel weiter orne. d.h. der satz wurde nicht auf dieses beispiel "angepasst"
glaub ich halt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 So 14.10.2007 | | Autor: | Braunstein |
Dir ist schon bewusst, dass [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=-\integral_{b}^{a}{f(x) dx} [/mm] ist, oder? So auch bei
-> [mm] \integral_{B}^{}{\bruch{\partial P}{\partial y} dxdy} [/mm] entspricht dann [mm] -\integral_{C}{}Pdx [/mm] ... mathematisch negative Richtung
-> [mm] \integral_{B}^{}{-\bruch{\partial P}{\partial y} dxdy} [/mm] entspricht dann [mm] \integral_{C}{}Pdx [/mm] ... mathematisch positive Richtung
Denn ...
[mm] \integral_{B}^{}{\integral_{}^{}{\bruch{\partial Q}{\partial x} - \bruch{\partial P}{\partial y}dx}dy} [/mm]
ist definitiv POSITIV MATHEMATISCH orientiert!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:29 So 14.10.2007 | | Autor: | Braunstein |
Somit ist dann
[mm] \integral_{B}^{}{\integral_{}^{}{\bruch{\partial P}{\partial y} - \bruch{\partial Q}{\partial x}dx}dy}
[/mm]
mathematisch negativ orientiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 So 14.10.2007 | | Autor: | esp |
die gleichen gedanken hab ich mir auch schon gemacht. jedoch wusste ich nicht, dass man x und y so einfach transformieren kann.
D.h. das ganze sieht so aus:
[mm] \integral_{B}^{}{\integral_{}^{}{\bruch{\partial (e^{y^2}-3x^2)}{\partial y} - \bruch{\partial (2xye^{y^2}+4xy)}{\partial x}~dx}dy = \integral_{B}^{}{\integral_{}^{}{(2ye^{y^2} - 2ye^{y^2}+4y)~dx}dy} = \integral_{\varphi = 0}^{2\pi}{\integral_{r=0}^{1}{(2*(1+sin\varphi)*e^{(1+sin\varphi)}^2} - 2*(1+sin\varphi)*e^{(1+sin\varphi)}^2} + 4*(1+sin\varphi ))~dr}d\varphi
[/mm]
?
lg und danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 So 14.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo esp!
Du machst es dir unnötig schwer, wenn du erst die Parametrisierung einsetzt, bevor du den Integranden vereinfacht hast- Außerdem hast du ein Vorzeichen falsch:
[mm]\iint\limits_{B}^{}{\bruch{\partial (e^{y^2}-3x^2)}{\partial y} - \bruch{\partial (2xye^{y^2}+4xy)}{\partial x}~dxdy = \iint\limits_{B}^{}(2ye^{y^2} - 2ye^{y^2}\red{-}4y)~dxdy} = -4 \iint\limits_B y dx dy[/mm].
Beim Einsetzen der Parametrisierung sind ist bei dir der Faktor r vor den Winkelfunktionen klammheimlich verschwunden.
Wichtig: beachte die Vorzeichen: Deiner Formel für den Satz von Green-Riemann unterscheidet sich von der üblichen durch ein Minuszeichen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 So 14.10.2007 | | Autor: | esp |
ahhh! alles klar. War schlampig und hab das r vergessen. Jap, der green-riemann satz von mir ist auch faslch, ich werde den richtigen verwenden.
aber meine grenzen stimmen??? (bis auf das,dass [mm] \phi [/mm] von [mm] 2\pi [/mm] bis 0 geht, da ja im mathematisch negativen sinn)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 So 14.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo esp!
> ahhh! alles klar. War schlampig und hab das r vergessen.
> Jap, der green-riemann satz von mir ist auch faslch, ich
> werde den richtigen verwenden.
> aber meine grenzen stimmen??? (bis auf das,dass [mm]\phi[/mm] von
> [mm]2\pi[/mm] bis 0 geht, da ja im mathematisch negativen sinn)
Das ist zwar richtig, führt aber in die Irre: Wir müssen hier die Vorzeichen des Kurven- und des Flächenintegrals auseinanderhalten. Beim Kurvenintegral kannst du einfach die Grenzen vertauschen; das ist nach den Regeln der Integralrechnung nichts Anderes als ein Vorzeichenwechsel.
Beim Flächenintegral könntest du genauso die Grenzen der Integration über r vertauschen und hättest wieder den Vorzeichenwechsel. Es handelt sich hier um die Orientierung der Fläche, nicht der Randkurve.
Ich würde so sagen: da der Integrationsweg im Uhrzeigersinn verläuft, also im (mathematisch) negativen Sinne, ist das gesuchte Integral gleich dem Flächenintegral mal (-1), und dann das Flächenintegral ganz normal ausrechnen.
Viele Grüße
Rainer
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