Grassmann-Mannigfaltigkeit < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:00 Mo 12.12.2011 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Grassmann-Mannigfaltigkeit eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des projektiven Raums des äußeren Produktes ist.
Genauer: Seinen V ein K-Vektorraum und [mm] m\in\IN
[/mm]
[mm] G_{m}(V) [/mm] sei die Menge aller Untervektorräume von V der Dimension m (die Grassmann-Mannigfaltigkeit). Sei W ein m-dimensionaler Unterraum von V und [mm] w_{1},...,w_{m} [/mm] eine Basis von W. Dann bewirkt ein Basiswechsel nur die Multiplikation mit der Determinante auf das äußere Produkt [mm] w_{1}\wedge...\wedge w_{m}
[/mm]
Der projektive Punkt [mm] pl(W):=\IP(w_{1}\wedge...\wedge w_{m}) [/mm] hängt also nur vom Unterraum ab.
Zeigen Sie, dass die Abbildung $ pl: [mm] G_{m}(V)\to \IP(\bigwedge^{m} [/mm] V) $ injektiv und regulär ist, sowie dass ihr Bild Zariski-abgeschlossen ist. |
Hallo,
also diese Sache mit dem äußeren Produkt liegt bei mir nun schon etwas zurück... Für die Injektivität reicht es zu zeigen: Für zwei m-fache äußere Produkte, die linear abhängig sind, ist das Aufpann ihrer Faktoren gleich. Oder genauer:
Ist [mm] x_{1}\wedge...\wedge x_{m}=\lambda*y_{1}\wedge...\wedge y_{m} [/mm] so ist [mm] x_{i}\in span(y_{1},...,y_{m}) [/mm] für alle i
Es wirkt doch tatsächlich so, als ob das so sein könnte, ich frag mich nur wie ich das nun zeigen soll.
Und gibt es irgendeine einfache Möglichkeit einzusehen, dass die Abbildung regulär ist? Das heißt ja, dass sie in allen Karten regulär aussieht und die Karten sind nicht gerade schön...
Und dann brauch man auch noch irgendwelche Bedinungen an das Bild, wo nimmt man die her, erfahrungsgemäß würd ich sagen, dass es bestimmt irgendwelche Matrizen gibt, von der die herrühren, nur wo kommen die Matrizen her?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 14.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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