Graphische Darstellung Menge < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 Mo 24.10.2011 | | Autor: | Reducer |
| Aufgabe | Stelle die Menge, die durch folgende Relation definiert ist, in der komplexen Ebene grafisch dar:
0 < |z+i| < 3 |
Hi
Ich sollte die Menge grafisch darstellen, hab aber keine Ahnung wie ich das in einem x,y-Koordinatensystem einzeichnen soll.
Betragsmässig ist die Menge ja zwischen 0 und 3.
Komme mit dem Ausdruck z(steht ja für eine komplexe Zahl)+i nicht klar.
Hoffe es kann mir jemand einen Tipp geben.
Besten Dank & Gruss
Reducer
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Reducer,
> Stelle die Menge, die durch folgende Relation definiert
> ist, in der komplexen Ebene grafisch dar:
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> 0 < |z+i| < 3
> Hi
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> Ich sollte die Menge grafisch darstellen, hab aber keine
> Ahnung wie ich das in einem x,y-Koordinatensystem
> einzeichnen soll.
>
> Betragsmässig ist die Menge ja zwischen 0 und 3.
>
> Komme mit dem Ausdruck z(steht ja für eine komplexe
> Zahl)+i nicht klar.
>
> Hoffe es kann mir jemand einen Tipp geben.
In der komplexen Ebene ist die y-Achse die imaginäre Achse.
Und x die reelle Achse.
> Besten Dank & Gruss
> Reducer
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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Hallo Reducer,
> Stelle die Menge, die durch folgende Relation definiert
> ist, in der komplexen Ebene grafisch dar:
>
> 0 < |z+i| < 3
> Hi
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> Ich sollte die Menge grafisch darstellen, hab aber keine
> Ahnung wie ich das in einem x,y-Koordinatensystem
> einzeichnen soll.
>
Gerade zu Beginn sollte man derartige Aufgaben rechnerisch lösen!
Allein schon, um das Rechnen mit komplexen Zahlen einzuüben.
Später mit ein wenig Erfahrung kannst du derartige Mengen (Ungleichungen) direkt "deuten" ...
Setze [mm]z=x+iy[/mm] mit [mm]x,y\in\IR[/mm] ein und nutze die Definition des komplexen Betrages:
[mm]0<|z+i|<3[/mm]
[mm]\gdw 0<|(x+iy)+i|<3[/mm]
[mm]\gdw 0<|x+(y+1)i|<3[/mm]
Nun die Def. des komplexen Betrages anwenden und dann quadrieren, der entstehende Ausdruck sollte dir aus der Schule bekannt vorkommen, so dass du ihn leicht geometrisch wirst deuten können ...
Gruß
schachuzipus
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> Stelle die Menge, die durch folgende Relation definiert
> ist, in der komplexen Ebene grafisch dar:
>
> 0 < |z+i| < 3
> Hi
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> Ich sollte die Menge grafisch darstellen, hab aber keine
> Ahnung wie ich das in einem x,y-Koordinatensystem
> einzeichnen soll.
>
> Betragsmässig ist die Menge ja zwischen 0 und 3. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Was soll das heißen ? Welche Menge ?
> Komme mit dem Ausdruck z(steht ja für eine komplexe
> Zahl)+i nicht klar.
Hallo Reducer,
schachuzipus empfiehlt eine rechnerische Lösung.
Ich denke aber, dass auch geometrische Lösungen im
Bereich der komplexen Zahlen sehr nützlich und ver-
ständnisfördernd sein können. Hier ist die geometrische
Lösung tatsächlich wesentlich einfacher als die rechne-
rische.
Ich gebe dir dazu nur einen kleinen Tipp:
Sind z und [mm] z_0 [/mm] zwei komplexe Zahlen, so stellt [mm] $\mbox{\large{\mathrm{|\,z\,-\,z_0\,|}}}$
[/mm]
den Abstand der zugehörigen Punkte in der Gaußschen
Ebene dar.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Di 25.10.2011 | | Autor: | Reducer |
Hallo Leute
Danke für eure Tipps. Probiers fürs Erste mal grafisch.
[img][url=1]
Unter folgenden Annahmen hab ich mir das jetzt mal aufgezeichnet.
Gaussche Ebene:
y-Achse = imaginär
x-Achse = real
Der schwarze Kreis ist der Radius der komplexen Zahl, die ja in alle Richtungen schauen kann. i ist Einheit der imaginären Ebene, daher immer vertikal.
Die blaue Darstellung gilt entsprechend für die restlichen 3 Quadranten.
Kommt das so hin?
Grüsse Reducer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 Di 25.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast offensichtlich die Ratschläge beide nicht befolgt! deine Losung ist falsch. rechne wirklich mal mit z=x+iy den Betragvon x+i(y+1) mal aus.
dann überleg noch mal dass [mm] |z-z_o| [/mm] also bei dir |z-(-i)| den abstand von z zu [mm] z_0 [/mm] angibt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:31 Mi 26.10.2011 | | Autor: | Reducer |
Hmm okay das mit der Kreisgleichung habe ich jetzt begriffen
[mm] |z|=\wurzel{a^{2}+(b+1)^{2}}
[/mm]
[mm] |z|^{2}=a^{2}+(b+1)^2
[/mm]
also gilt [mm] 0^{2}
Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei (a/b+1) und dessen Radius ist [mm] \not=0 [/mm] und kleiner als 3
was ich noch nicht begreife ist [mm] |z-z_o|. [/mm] Das Resulat ist ja wieder die Kreisgleichung. Welcher Abstand erhalte ich denn daraus? Den Radius? Sorry hab irgenwie Mühe mir das vorzustellen..könnte an der Uhrzeit liegen:)
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:50 Mi 26.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Hmm okay das mit der Kreisgleichung habe ich jetzt
> begriffen
>
> [mm]|z|=\wurzel{a^{2}+(b+1)^{2}}[/mm]
>
> [mm]|z|^{2}=a^{2}+(b+1)^2[/mm]
>
> also gilt [mm]0^{2}
>
> Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei (a/b+1) und dessen
Wo holst du jetzt das a und das b her?
Wir waren bei [mm]|z|=\wurzel{x^{2}+(y+1)^{2}}[/mm].
Das ist ein Kreis mit den Mittelpunktskoordinaten x=0 und y=-1.
Der Radius dieses Kreises darf zwischen 0 und 3 liegen.
> Radius ist [mm]\not=0[/mm] und kleiner als 3
>
> was ich noch nicht begreife ist [mm]|z-z_o|.[/mm] Das Resulat ist ja
> wieder die Kreisgleichung. Welcher Abstand erhalte ich denn
> daraus? Den Radius? Sorry hab irgenwie Mühe mir das
> vorzustellen..könnte an der Uhrzeit liegen:)
Ja. Die gegebene Ungleichung heißt in Worten:
Der Abstand einer komplexen Zahl z zur komplexen Zahl -i liegt zwischen 0 und 3.
Gruß Abakus
>
> Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:33 Mi 26.10.2011 | | Autor: | Reducer |
> > Hmm okay das mit der Kreisgleichung habe ich jetzt
> > begriffen
> >
> > [mm]|z|=\wurzel{a^{2}+(b+1)^{2}}[/mm]
> >
> > [mm]|z|^{2}=a^{2}+(b+1)^2[/mm]
> >
> > also gilt [mm]0^{2}
> >
> > Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei (a/b+1) und dessen
> Wo holst du jetzt das a und das b her?
Hab ich stillschweigend unterschlagen
Kreigleichung:
[mm] r^{2}=x^{2}+y^{2}
[/mm]
entspricht ja
[mm] |z|^{2}=a^{2}+b^{2}
[/mm]
Ausser das die Achsen anders heissen.
Danke für die Antwort
Grüsse Reducer
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