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| Aufgabe | Der Graph der Funktion f(x)= 0,375 [mm] x^2 [/mm] +1,5 [mm] x^-2 [/mm] - 1,875 schneidet den Graphen der Funktion g(x)= [mm] - x^2 [/mm] +1 im Punkt B(-1;0). Berechnen Sie weitere Schnittpunkte.
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g(x)=f(x)
0= [mm] -\bruch{5}{8} [/mm] [mm] z^2 [/mm] -0,875z +1,5
wobei z=[mm] x^2 [/mm]
x = 1 bzw. -1, wenn ich 1 bzw. -1 in f oder g einsetze erhalte ich nur B oder C (1;0).
Das Graphikmenü meines Taschenrechners zeigt mir aber noch 2 weitere Lösungen an. Wie berechne ich die?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Mi 09.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Zuerst mal setze die Funktionen gleich:
Also
[mm] 0,375x²+\underbrace{\bruch{1,5}{x²}}_{=1,5x^{-2}}-1,875=-x²+1
[/mm]
Indem du beide Seiten mit x² multiplizierst, fällt der Bruch weg.
Also:
[mm] 0,375x²+\bruch{1,5}{x²}-1,875=-x²+1
[/mm]
[mm] \gdw 0,375x^{4}+1,5-1,875x²=-x^{4}+x²
[/mm]
[mm] \gdw 1,375x^{4}-0,875x²+1,5=0
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{11}{8}x^{4}-\bruch{7}{8}x²+\bruch{12}{8}=0
[/mm]
[mm] \gdw 11x^{4}-7x²+12=0
[/mm]
Als Nullstellen (Schnittstellen) hast du jetzt ja [mm] x=\pm1
[/mm]
Also kannst du jetzt eine Polynomdivision mit (x-1) und eine mit (x+1) machen, oder aber eine mit (x-1)(x+1)=x²-1
Dann erhältst du einen quadratischen "Restterm", der die beiden anderen Lösungen liefert.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:44 Mi 09.05.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin!
> Hallo.
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>
> Zuerst mal setze die Funktionen gleich:
>
> Also
>
> [mm]0,375x²+\underbrace{\bruch{1,5}{x²}}_{=1,5x^{-2}}-1,875=-x²+1[/mm]
>
> Indem du beide Seiten mit x² multiplizierst, fällt der
> Bruch weg.
>
> Also:
> [mm]0,375x²+\bruch{1,5}{x²}-1,875=-x²+1[/mm]
> [mm]\gdw 0,375x^{4}+1,5-1,875x²=-x^{4}+x²[/mm]
> [mm]\gdw 1,375x^{4}-0,875x²+1,5=0[/mm]
hier erhalte ich [mm] -2,875x^2 [/mm] ?!
> [mm]\gdw \bruch{11}{8}x^{4}-\bruch{7}{8}x²+\bruch{12}{8}=0[/mm]
und dann eben
[mm] \bruch{11}{8}x^4 [/mm] - [mm] \bruch{23}{8}x^2 [/mm] + [mm] \bruch{12}{8}=0
[/mm]
hier nehme ich die gleichung mal [mm] \bruch{8}{11} [/mm] und substituiere [mm] z=x^2 [/mm]
[mm] z^2 [/mm] - [mm] \bruch{23}{11}z [/mm] + [mm] \bruch{12}{11} [/mm] =0
[mm] z_{1/2}= \bruch{23}{22} \pm \wurzel{ \bruch{529}{484} - \bruch{528}{484}}
[/mm]
[mm] z_{1}=1 [/mm] => resub [mm] x_{1/2}= \pm [/mm] 1
[mm] z_{2}= \bruch{24}{22} [/mm] => resub [mm] x_{3/4}= \pm \wurzel{ \bruch{24}{22}}
[/mm]
bzw. [mm] x_{3/4}= \pm [/mm] 1,044465936...
... keine polynomdivision erforderlich!
gute nacht!
gruß
wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:17 Do 10.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast recht. Ich habe mich gestern da verrechnet. Und die Substitution ist auf jeden Fall auch der elegantere Weg.
Marius
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