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| Aufgabe | | Zuordnung von Graphen durch Funktionsvorschriften. |
Hallo.
Wie oben beschrieben soll ich zu bestimmten rationalen Funktionen bestimmte Graphen zuordnen.
Dabei gibt es folgende Funktionen:
[mm] f_{1}(x)=\bruch{x^2-2x-1}{x^5+1}
[/mm]
[mm] f_{2}(x)=\bruch{x^2-2x-1}{x-1}
[/mm]
[mm] f_{3}(x)=\bruch{x^2-2x-1}{x^2-1}
[/mm]
[mm] f_{4}(x)=\bruch{x^2-2x-1}{x^2+1}
[/mm]
Es gilt ja, dass die Funktion 0 wird, sobald der Zähler 0 ist.
So kann man die Nullstellen der Funktion bestimmen.
Deswegen habe ich [mm] x^2-2x-1 [/mm] einzeln betrachtet.
[mm] x^2-2x-1=0 [/mm] -> Nullstellenbestimmung
p/q-Formel: [mm] -(\bruch{p}{2})\pm\wurzel{(\bruch{p}{2})^2-q}=x_{1,2} [/mm]
[mm] 1\pm\wurzel{2} [/mm] habe ich als Nullstelle raus. Also ungefähr 2.41
Ebenso [mm] 1-\wurzel{2} [/mm] ungefähr -0.41.
So kann ich doch ansich vorgehen, oder?
Zu jeder Funktion bestimmte ich dann die Polstelle und schaue, wie die Funktionen sich bei [mm] \limes_{x\rightarrow\pm{\infty}}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\pm{0}} [/mm] verhalten.
Die Nullstellen sind überall gleich.
Polstellen;
1:-1
2:1
3:1 und -1
4:keine
Ich wüsste nun gerne ob diese Polstellen in den Funktionen vorhanden sind. Denn in den uns gegebenen Funktionen gibt es keinen Graphen der mit den bestimmten Nullstellen übereinstimmt und nur eine Polstelle bei -1 hat.
Kann man die Polstellen, irgendwie überprüfen? Also sind sie absolut, oder gibt es Methoden sie zu umgehen?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
Dein Vorgehen ist im Prinzip richtig, aber ein paar Bemerkungen dazu :
1. Ich bin mir ziemlich sicher, dass deine Zählerfunktion nicht z(x) = [mm] x^2 [/mm] - 2x - 1 lautet, sondern z(x) = [mm] x^2 [/mm] - 2x + 1 . (Ich kenn' doch meine Kollegen)
2. Du sprichst von allen Nullstellen der Nennerfunktion als Polstellen. Sie sind aber nur dann Polstellen, wenn sie nicht gleichzeitig auch solche Nullstellen der Zählerfunktion sind, dass sie sich wegkürzen lassen.
3. Bei der Grenzwertbetrachtung ist nicht [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] sondern [mm] \limes_{x\rightarrow p} [/mm] zu untersuchen, wobei p Nullstelle der Nennerfunktion ist.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
ich schließe mich dem an, daß Dein Rechnung richtig aussieht, aber auch ich hab eigenen Senf ^^
1. Die Linearfaktoren des Zählers sind nur von belang, wenn sie sich mit welchen aus dem Nenner wegkürzen (d.h. Polstellen wegfallen). Ist hier nicht der Fall, weil weder 1 noch -1 Nullstelle vom Zähler ist (und das sind die einzigen im Nenner). Also haben alle 5 die gleichen Nst, was sie sind spielt keine Rolle, da man die Funktionen daran nicht unterscheiden kann.
2. Das asymptotische Verhalten für [mm] $x\to\pm\infty$ [/mm] kann man schnell ablesen, und daran lassen sie sich unterscheiden. Erste geht gegen 0, zweite gegen x, dritte und vierte gegen 1. Die 3. hat Polstellen, die 4. nicht, also sind wir fertig.
ciao
Stefan
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