Graph gebr. rational. Funktion < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo lim,
> Ermitteln Sie anhand folgender Funktion die Nullstellen,
> Definitionsbereiche, Verhalten im Unendlichen, sowie das
> Monotonieverhalten. Zeichnen Sie den Graph.
> [mm]f(x)=\frac{x^3+3x-1}{x^2}[/mm]
> [mm]f(x)=\frac{x^3+3x-1}{x^2}[/mm]
>
> Df= [mm]IR\backslash \{0\}[/mm]
>
> Nullstellen:
> (Die Nullstellen wurden dem Grpahen, welchen ich mir über
> MatheGrafix zeichnen habe lassen entnommen.)
>
> Zähler: [mm]\approx[/mm] 0,32 -> VZW
> Nenner: 0 -> Polstelle
>
> [mm]\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ableitung:
>
> [mm]f(x)=\frac{x^3+3x-1}{x^2}[/mm]
>
> [mm]u(x)=x^3+3x-1;u'(x)=3x^2+3[/mm]
> [mm]v(x)=x^2;v'(x)=2x[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\bruch{(3x^2+3)x^2-(x^3+3x-1)2x}{(x^2)^2}=\bruch{3x^4+3x^2-2x^4-6x^2+2x}{(x^4)}=\bruch{x^4-3x^2+2x}{x^4}=\bruch{x(x^3-3x+2)}{x(x^3)}=\bruch{x^3-3x+2}{x^3}[/mm]
>
> Nullstelle Ableitung: [mm]\{-2\}[/mm]
>
Die Ableitung hat noch eine reelle Nullstelle.
> Monotonieverhalten:
>
> ]-oo ; -2] steigend
> [-2 ; 0] fallend
> [0 ; +oo[ steigend, wobei kurzzeitig bei x=1 keine
> Steigung vorliegt.
Die 0 ist doch Polstelle, daher lauten die Intervalle:
[mm]f'\left(x\right)=\left\{\begin{matrix} >0 & x \in \left]-\infty,-2\right[ \\ <0 & x \in \left]-2,-0\right[ \\ >0 & x \in \left]0,\infty\right[\end{matrix} \right[/mm]
> Sagt man das so? 
>
> Asymptotenberechnung durch Polynomdivision:
>
> [mm](x^3+3x-1):x^2=x+\frac{3x-1}{x^2}[/mm]
> y=x
>
> Schneidet der Graph die Asymptote?
>
> [mm]\bruch{x^3+3x-1}{x^2}=x[/mm]
> [mm]x^3+3x-1=x^3[/mm]
> 3x=1
> [mm]x=\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Der Graph der Funktion schneidet die Asymptote bei
> [mm]x=\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Beweisen Sie, dass der Graph der Funktion oberhalb der
> Asymptote verläuft.
>
> [mm]\bruch{x^3+3x-1}{x^2}+x[/mm] > 0
Hier meinst Du wohl:
[mm]\bruch{x^3+3x-1}{x^2}\blue{-}x > 0[/mm]
> [mm]\bruch{x^3+3x-1}{x^2}+\bruch{x^3}{x^2}>[/mm] 0
> [mm]\bruch{3x-1}{x^2}>[/mm] 0
> -> Nenner ist immer positiv
>
Wichtig ist der Zähler.
Dieser ist größer 0, falls [mm]x> \bruch{1}{3}[/mm]
> Symmetrie
>
> [mm]f(-x)=\frac{(-x)^3+3(-x)-1}{(-x)^2}[/mm] [mm]\not=[/mm]
> [mm]f(x)=\frac{x^3+3x-1}{x^2}[/mm]
>
> Ist nicht achsensymmetrisch.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Würde mich freuen, wenn ihr euch meine Berechnungen einmal
> anschauen könntet.
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 So 15.01.2012 | | Autor: | lim |
> >
> > Nullstelle Ableitung: [mm]\{-2\}[/mm]
> >
>
>
> Die Ableitung hat noch eine reelle Nullstelle.
Meinst du damit die Nullstelle im Nenner?
Falls ja wäre diese 0.
Also im Zähler -2 und im Nenner 0.
> > Monotonieverhalten:
> >
> > ]-oo ; -2] steigend
> > [-2 ; 0] fallend
> > [0 ; +oo[ steigend, wobei kurzzeitig bei x=1 keine
> > Steigung vorliegt.
>
>
> Die 0 ist doch Polstelle, daher lauten die Intervalle:
>
> [mm]f'\left(x\right)=\left\{\begin{matrix} >0 & x \in \left]-\infty,-2\right[ \\ <0 & x \in \left]-2,-0\right[ \\ >0 & x \in \left]0,\infty\right[\end{matrix} \right[/mm]
Stimmen die Klammern bei mir nicht?
Es geht mir speziell um -2 und 0, denn ich habe die Klammern ja anderst gesetzt.
Kannst du mir bitte kurz erklären warum die so nicht stimmen?
> Hier meinst Du wohl:
Ja genau!
> [mm]\bruch{x^3+3x-1}{x^2}\blue{-}x > 0[/mm]
>
>
> > [mm]\bruch{x^3+3x-1}{x^2}+\bruch{x^3}{x^2}>[/mm] 0
> > [mm]\bruch{3x-1}{x^2}>[/mm] 0
> > -> Nenner ist immer positiv
> >
>
> Wichtig ist der Zähler.
>
> Dieser ist größer 0, falls [mm]x> \bruch{1}{3}[/mm]
Danke für deine Hilfe!
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Hallo lim,
> > >
> > > Nullstelle Ableitung: [mm]\{-2\}[/mm]
> > >
> >
> >
> > Die Ableitung hat noch eine reelle Nullstelle.
>
> Meinst du damit die Nullstelle im Nenner?
> Falls ja wäre diese 0.
> Also im Zähler -2 und im Nenner 0.
>
Ich meine hier schon den Zähler.
>
> > > Monotonieverhalten:
> > >
> > > ]-oo ; -2] steigend
> > > [-2 ; 0] fallend
> > > [0 ; +oo[ steigend, wobei kurzzeitig bei x=1 keine
> > > Steigung vorliegt.
> >
> >
> > Die 0 ist doch Polstelle, daher lauten die Intervalle:
> >
> > [mm]f'\left(x\right)=\left\{\begin{matrix} >0 & x \in \left]-\infty,-2\right[ \\ <0 & x \in \left]-2,-0\right[ \\ >0 & x \in \left]0,\infty\right[\end{matrix} \right[/mm]
>
> Stimmen die Klammern bei mir nicht?
> Es geht mir speziell um -2 und 0, denn ich habe die
> Klammern ja anderst gesetzt.
> Kannst du mir bitte kurz erklären warum die so nicht
> stimmen?
>
Die linke Klammer ist richtig.
Die rechte Klammer ist nicht richtig,
da 0 eine Polstelle ist, und ist daher vom Monotoniebereich auszuschliessen.
[mm]f'\left(x\right)=\left\{\begin{matrix} >0 & x \in \left]-\infty,-2\right[ \\ <0 & x \in \left]-2,-0\right[ \\ >0 & x \in \left]0,\infty\right[\end{matrix} \right[/mm]
Da hier nur ">" bzw. "<" vorkommen, handelt es sich um strenge Monotonie.
Im Fall der "normalen" Monotonie muss hier stehen:
[mm]f'\left(x\right)=\left\{\begin{matrix} \blue{\ge} 0& x \in \left]-\infty,-2\right\blue{]} \\ \blue{\le}0 & x \in \left\blue{[}-2,-0\right[ \\ \blue{\ge}0 & x \in \left]0,\infty\right[\end{matrix} \right[/mm]
>
> > Hier meinst Du wohl:
>
> Ja genau!
>
> > [mm]\bruch{x^3+3x-1}{x^2}\blue{-}x > 0[/mm]
> >
> >
> > > [mm]\bruch{x^3+3x-1}{x^2}+\bruch{x^3}{x^2}>[/mm] 0
> > > [mm]\bruch{3x-1}{x^2}>[/mm] 0
> > > -> Nenner ist immer positiv
> > >
> >
> > Wichtig ist der Zähler.
> >
> > Dieser ist größer 0, falls [mm]x> \bruch{1}{3}[/mm]
>
> Danke für deine Hilfe!
>
Gruss
MathePower
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