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| Aufgabe | | Die Vektoren [mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] v_2 =\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] v_3= \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ -1} [/mm] , [mm] v_4= \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] sind mit dem gramschmidt-Verfahren zu orthonormalisieren. |
Hallo ihr.
Ist das so richtig?
[mm] v_1 [/mm] = [mm] (u_1)' [/mm] => [mm] u_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}\vektor{0 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \\ }
[/mm]
[mm] (u_2)' [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ } [/mm] - [mm] u_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ } [/mm] - [mm] {\bruch{-2}{\wurzel{5}}\bruch{1}{\wurzel{5}}\vektor{0 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \\ }}
[/mm]
= [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ } [/mm] + [mm] \bruch{2}{5}\\vektor{0 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \\ } =\vektor{1 \\ -1/5 \\ 2/5 \\ 0} [/mm]
[mm] u_2= \bruch{5}{\wurzel{30}} \vektor{1 \\ -1/5 \\ 2/5 \\ 0} [/mm]
Und zum überprüfen: [mm] u_1*u_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}\vektor{0 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \\ }*\bruch{5}{\wurzel{30}} \vektor{1 \\ -1/5 \\ 2/5 \\ 0} [/mm] = 0
Und das dann auch für die weiteren Vektoren....
Lg Sandra
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Hallo!
Das ist richtig so!
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Ich habe noch eine weitere Frage zum theorethiscxhen Hintergrund.
Da ich mich gerade für meine zwischenprüfung vorbereite macht es Sinn zu verstehen was dahinter steckt.
Es ist ja nach Normierung [mm] \parallel u_1 \parallel [/mm] = 1
Wieso ist [mm] \bruch{v_2 - u_1}{\parallel v_2 - u_1
\parallel} [/mm] orthogonal zu [mm] u_1?
[/mm]
Also was steckt dahinter?
Und gilt das für beliebige Vektoren [mm] v_1,v_2 [/mm] oder nur für linear unabhängige(wenn ja, warum?)
Wenn mir dabei jemand helfen könnte, wäre super..
Lg Sandra und ein schöne WE
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Sa 25.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Sandra,
> Wieso ist [mm]\bruch{v_2 - u_1}{\parallel v_2 - u_1 \parallel}[/mm] orthogonal zu [mm]u_1[/mm]?
Rechne es einfach aus: Das Skalarprodukt von [mm]\bruch{v_2 - u_1}{\parallel v_2 - u_1 \parallel}[/mm] mit [mm]u_1[/mm] ist
[mm]\bruch{ - <u_1,u_1>}{\| v_2 - u_1 \|} = \bruch{ - }{\| v_2 - u_1 \|}= \bruch{ - \|u_1\|^2} {\| v_2 - u_1 \|} = \bruch{ - }{\| v_2 - u_1 \|} = 0[/mm].
> Also was steckt dahinter?
Anschaulich:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Grüße
Rainer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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