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Hallo Zusammen,
| Aufgabe | Für zwei Binärwörter [mm]x:=x_1\ldots x_n[/mm] und [mm]y:=y_1\ldots y_m[/mm] ist die Konkatenation [mm]xy\![/mm] definiert als [mm]xy := x_1\ldots x_ny_1\ldots y_m[/mm]. Seien [mm]x,y,z\in\mathcal{B}^{\*}[/mm] Binärwörter mit [mm]z=xy\![/mm], dann heißt [mm]x\![/mm] ein Präfix von [mm]z\![/mm]. Eine nichtleere Teilmenge [mm]T\subset\mathcal{B}^{\*}[/mm] heißt präfixfrei, wenn es kein Paar [mm](x,z)\in T^2[/mm] gibt mit [mm]x\ne z[/mm] und [mm]x\![/mm] ist Präfix von [mm]z\![/mm].
(a) Sei [mm]T\![/mm] eine präfixfreie Menge und [mm]t^1,t^2,\dotsc,t^k\in T[/mm]. Zeigen Sie, daß die Wörter [mm]t^1,t^2,\dotsc,t^k[/mm] aus der Konkatenation [mm]t^1t^2\ldots t^k[/mm] rekonstruiert werden können.
(b) Sei [mm]x\in\mathcal{B}^{\*}[/mm], dann ist die sogenannte selbstbegrenzende Version [mm]\bar{x}[/mm] von [mm]x\![/mm] definiert durch [mm]\bar{x} := 1^{\ell(x)}0x[/mm], wobei [mm]1^{\ell(x)} := 11\ldots 1\in\mathcal{B}^{\ell(x)}[/mm]. Zeigen Sie, daß die Abbildung [mm]\mathcal{B}^{\*}\to\mathcal{B}^{\*}[/mm], [mm]x\mapsto \bar{x}[/mm], injektiv und die Menge [mm]\left\{\bar{x}:x\in\mathcal{B}^{\*}\right\}[/mm] präfixfrei ist. |
Es wäre Klasse, wenn man mir vielleicht einige Beispiele für die Teilaufgaben a) und b) geben könnte, woran ich überhaupt die Aufgabenstellung als solche erkennen kann.
Außerdem ist mir nicht klar, was mit [mm]1^{\ell(x)}0x[/mm] und [mm]1^{\ell(x)}[/mm] gemeint ist. Ich vermute jetzt mal, daß [mm]B^{\ell(x)}[/mm] ein kartesisches Produkt ist, welches von [mm]l(x)\![/mm] abhängt. Asonsten komme ich mit dieser Aufgabe leider überhaupt nicht zurecht.
Vielen Dank!
Viele Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 So 17.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Karl!
Ich denke du hast dahingehend recht, dass mit [mm] $B^x$ [/mm] das kartesische Produkt [mm] $\overbrace{B\times ...\times B}^{x-mal}$, [/mm] also alle x-Tupel von $B:={0,1}$ gemeint sind. Dann wäre meines Verständnisses nach [mm] $B\*$ [/mm] die Menge aller Binärwörter, und da das recht schierig auszudrücken ist, schreibt man einfach [mm] $B\*$ [/mm] für ein beliebiges kartesisches Produkt, wobei sich beliebig auf die Länge bezieht. Dann ist sowohl $10010$ ein Element aus [mm] $B\*$, [/mm] wenn man sich für das Sternchen ein eine 5 denkt, als auch $101$ im Falle einer 3.
Mit [mm] $1^{l(x)}$ [/mm] ist meiner Meinung nach die Folge von Einsen gemeint, die genau so viele Einsen wie $x$ Ziffern enthält. [mm] $1^{l(x)}0$ [/mm] wäre somit die Konkatenation aus $l(x)$ Einsen und einer Null.
Daraus ergibt sich aber auch eine Frage zu (a), nämlihc: ist [mm] $t^2=tt$, [/mm] also die Konkatenation von $t$ und $t$? Das ginge ja eigneltich nicht, da dann ja $t$ ein Präfix von $tt$ und somit die Menge $T$ nicht mehr Präfixfrei. Weißt du da etwas drüber? Was ist mit Rekonstruktion gemeint?
Bei (b) kannst du den Beweis, dass die besagte Abbildung injektiv ist, recht gut indirekt, also als Widerspruchsbeweis, führen. Du nimmst an, es gäbe zwei [mm] $\overline{x_1}$ [/mm] und [mm] $\overline{x_2}$ [/mm] mit [mm] $\overline{x_1}=\overline{x_2}$ [/mm] und [mm] $x_1\not= x_2$. [/mm] Dann überlegst du dir, dass die selbstbegrenzenden Versionen von [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] nicht gleich sein können. Mein Tip: unterscheide zwischen [mm] $l(x_1)=l(x_2)$ [/mm] und [mm] $l(x_1)\not= l(x_2)$.
[/mm]
Die Präfixfreiheit der Menge [mm] ${\overline{x}|x\in B\*}$ [/mm] lässt sich auch gut indirekt zeigen:
Nimm auch hier einfach an, es gäbe zwei selbstbegrenzende Versionen [mm] $\overline{x_1}$ [/mm] und [mm] $\overline{x_2}$, [/mm] wobei o.B.d.A. [mm] $\overline_{x_2}$ [/mm] ein Präfix von [mm] $\overline{x_1}$ [/mm] sein soll. Nun gehst du auch hier wieder die Fälle [mm] $l(x_1)=l(x_2)$ [/mm] und das Gegenteil, also [mm] $l(x_1)\not= l(x_2)$ [/mm] durch und wirst sehen, dass in beiden Fällen zu Widersprüchen kommt.
Ich hoffe, ich konnte dir ein wenig helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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