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| Aufgabe | | Wende die Gram-Schmidt-Methode an auf die Teilmenge $S = [mm] \{\vektor{1\\i\\0}, \vektor{1-i\\2\\4i}\}$ [/mm] des Skalarproduktraumes $V = [mm] \IC^3$ [/mm] an, um eine orthogonale Basis für den Span von $S$ zu erzeugen. Normiere die Vektoren, die du erhältst, um eine orthonormale Basis zu erhalten. Gib am Ende die (Fourier) Koeffizienten des Vektors [mm] $\vektor{3+i\\4i\\-4}$ [/mm] und der erstellten Basis. |
Hallo, zusammen,
an sich weiß ich, was ich zu tun habe, um eine Menge von Vektoren zu orthogonalisieren, aber in diesem Fall stoße ich auf ein Problem. Ich nenne die beiden Vektoren in $S$ nun [mm] $s_1$ [/mm] und [mm] $s_2$ [/mm] und die neuen, orthogonalen Vektoren [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$.
[/mm]
Für [mm] $v_1$ [/mm] wähle ich einfach:
[mm] $v_1 [/mm] = [mm] s_1 [/mm] = [mm] \vektor{1\\i\\0}$
[/mm]
[mm] $v_2$ [/mm] erhalte ich dann auf diese Weise:
[mm] $v_2 [/mm] = [mm] s_2 [/mm] - [mm] \bruch{}{\parallel v_1 \parallel^2}v_1$,
[/mm]
wobei [mm] $\parallel v_1 \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{}$ [/mm] die Länge des Vektors [mm] $v_1$ [/mm] bezeichnet. Aber genau hier liegt das Problem:
[mm] $\parallel v_1 \parallel^2 [/mm] = [mm] [/mm] = 0$
Ich müsste also durch $0$ teilen. Ist das einfach ein Fehler oder übersehe ich etwas?
Liebe Grüße.
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Hallo MeMeansMe,
> Wende die Gram-Schmidt-Methode an auf die Teilmenge [mm]S = \{\vektor{1\\i\\0}, \vektor{1-i\\2\\4i}\}[/mm]
> des Skalarproduktraumes [mm]V = \IC^3[/mm] an, um eine orthogonale
> Basis für den Span von [mm]S[/mm] zu erzeugen. Normiere die
> Vektoren, die du erhältst, um eine orthonormale Basis zu
> erhalten. Gib am Ende die (Fourier) Koeffizienten des
> Vektors [mm]\vektor{3+i\\4i\\-4}[/mm] und der erstellten Basis.
> Hallo, zusammen,
>
> an sich weiß ich, was ich zu tun habe, um eine Menge von
> Vektoren zu orthogonalisieren, aber in diesem Fall stoße
> ich auf ein Problem. Ich nenne die beiden Vektoren in [mm]S[/mm] nun
> [mm]s_1[/mm] und [mm]s_2[/mm] und die neuen, orthogonalen Vektoren [mm]v_1[/mm] und
> [mm]v_2[/mm].
>
> Für [mm]v_1[/mm] wähle ich einfach:
>
> [mm]v_1 = s_1 = \vektor{1\\i\\0}[/mm]
>
> [mm]v_2[/mm] erhalte ich dann auf diese Weise:
>
> [mm]v_2 = s_2 - \bruch{}{\parallel v_1 \parallel^2}v_1[/mm],
>
> wobei [mm]\parallel v_1 \parallel = \wurzel{}[/mm] die
> Länge des Vektors [mm]v_1[/mm] bezeichnet. Aber genau hier liegt
> das Problem:
>
Hier ist
[mm]\vmat{\vmat{v_{1}}} = \wurzel{}=\wurzel{\vektor{1\\i\\0}.\vektor{1\\-i\\0}}[/mm]
> [mm]\parallel v_1 \parallel^2 = = 0[/mm]
>
> Ich müsste also durch [mm]0[/mm] teilen. Ist das einfach ein Fehler
> oder übersehe ich etwas?
>
> Liebe Grüße.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Mi 04.03.2015 | | Autor: | fred97 |
Das Standardskalarprodukt auf [mm] \IC^n [/mm] ist wie folgt definiert:
für [mm] z=(z_1,....,z_n), w=(w_1,...,w_n) [/mm] ist
$<z,w>:= [mm] \summe_{k=1}^{n}z_k* \overline{w_k}$
[/mm]
Du hast die Konjugation vergessen !
FRED
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Hallo,
danke für die Antworten! Ich poste hier mal meine Lösung.
Also, wir haben die Menge $S = [mm] \{s_1, s_2\} [/mm] = [mm] \{\vektor{1\\i\\0}, \vektor{1-i\\2\\4i}\}$ [/mm] und den Vektor $h = [mm] \vektor{3+i\\4i\\-4}$. [/mm] Wir erstellen nun die orthogonalen Vektoren [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$.
[/mm]
[mm] $v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1\\i\\i}$
[/mm]
[mm] $v_2 [/mm] = [mm] s_2 [/mm] - [mm] \bruch{}{\parallel v_1 \parellel^2} [/mm] = [mm] \vektor{1-i\\2\\4i} [/mm] - [mm] \bruch{1+i}{2}\vektor{1\\i\\0} [/mm] = [mm] \vektor{1/2-3/2i\\5/2-1/2i\\0}$
[/mm]
Um diese Vektoren zu orthonormalisieren und [mm] $n_1$ [/mm] bzw. [mm] $n_2$ [/mm] zu erhalten, berechnen wir die Längen von [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$:
[/mm]
[mm] $\parallel v_1 \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{2}$
[/mm]
[mm] $\parallel v_2 \parallel [/mm] = 3$
Also:
[mm] $n_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}v_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1\\i\\0}$
[/mm]
[mm] $n_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}v_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}\vektor{1/2-3/2i\\5/2-1/2i\\0}$
[/mm]
Die Fourierkoeffizienten [mm] $a_i$ [/mm] werden dann berechnet mit [mm] $$:
[/mm]
[mm] $a_1 [/mm] = [mm] [/mm] = [mm] <\vektor{3+i\\4i\\-4},\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1\\i\\0}> [/mm] = [mm] \bruch{7\wurzel{2}}{2}+\bruch{\wurzel{2}}{2}i$
[/mm]
[mm] $a_2 [/mm] = [mm] [/mm] = [mm] <\vektor{3+i\\4i\\-4},\bruch{1}{3}\vektor{1/2-3/2i\\5/2-1/2i\\0}> [/mm] = [mm] -\bruch{2}{3}+5i$
[/mm]
Ist es so in Ordnung?
Liebe Grüße.
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Hallo MeMeansMe,
> Hallo,
>
> danke für die Antworten! Ich poste hier mal meine
> Lösung.
>
> Also, wir haben die Menge [mm]S = \{s_1, s_2\} = \{\vektor{1\\i\\0}, \vektor{1-i\\2\\4i}\}[/mm]
> und den Vektor [mm]h = \vektor{3+i\\4i\\-4}[/mm]. Wir erstellen nun
> die orthogonalen Vektoren [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm].
>
> [mm]v_1 = \vektor{1\\i\\i}[/mm]
> [mm]v_2 = s_2 - \bruch{}{\parallel v_1 \parellel^2} = \vektor{1-i\\2\\4i} - \bruch{1+i}{2}\vektor{1\\i\\0} = \vektor{1/2-3/2i\\5/2-1/2i\\0}[/mm]
>
Die Vektoren [mm]v_{1}, \ v_{2}[/mm] sind nicht orthogonal in [mm]}\IC^3}[/mm]
> Um diese Vektoren zu orthonormalisieren und [mm]n_1[/mm] bzw. [mm]n_2[/mm] zu
> erhalten, berechnen wir die Längen von [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm]:
>
> [mm]\parallel v_1 \parallel = \wurzel{2}[/mm]
> [mm]\parallel v_2 \parallel = 3[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]n_1 = \bruch{1}{\wurzel{2}}v_1 = \bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1\\i\\0}[/mm]
>
> [mm]n_2 = \bruch{1}{3}v_2 = \bruch{1}{3}\vektor{1/2-3/2i\\5/2-1/2i\\0}[/mm]
>
> Die Fourierkoeffizienten [mm]a_i[/mm] werden dann berechnet mit
> [mm][/mm]:
>
> [mm]a_1 = = <\vektor{3+i\\4i\\-4},\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1\\i\\0}> = \bruch{7\wurzel{2}}{2}+\bruch{\wurzel{2}}{2}i[/mm]
>
> [mm]a_2 = = <\vektor{3+i\\4i\\-4},\bruch{1}{3}\vektor{1/2-3/2i\\5/2-1/2i\\0}> = -\bruch{2}{3}+5i[/mm]
>
> Ist es so in Ordnung?
>
Nein.
> Liebe Grüße.
Gruss
MathePower
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Hallo,
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> Die Vektoren [mm]v_{1}, \ v_{2}[/mm] sind nicht orthogonal in
> [mm]}\IC^3}[/mm]
>
Neuer Versuch. Zur Erinnerung: $S = [mm] \{s_1, s_2\} [/mm] = [mm] \{\vektor{1\\i\\0}, \vektor{1-i\\2\\4i}\}$ [/mm] und $h = [mm] \vektor{3+i,4i,-4}$.
[/mm]
[mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$ [/mm] sind die orthogonales Vektoren:
[mm] $v_1 [/mm] = [mm] s_1 [/mm] = [mm] \vektor{1\\i\\0}$
[/mm]
[mm] $v_2 [/mm] = [mm] s_2 [/mm] - [mm] \bruch{}{\parallel v_1 \parallel^2}v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1-i\\2\\4i}-\bruch{1-3i}{2}\vektor{1\\i\\0} [/mm] = [mm] \vektor{1/2+1/2i\\1/2-1/2i\\4i}$
[/mm]
Das Skalarprodukt von [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$ [/mm] ergibt 0, d.h. die Vektoren sind orthogonal.
Die Längen sind:
[mm] $\parallel v_1 \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{2}$
[/mm]
[mm] $\parallel v_2 \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{17}$
[/mm]
Und die normierten Vektoren [mm] $n_1$ [/mm] und [mm] $n_2$ [/mm] dann:
[mm] $n_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1\\i\\0}$
[/mm]
[mm] $n_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{17}}\vektor{1/2+1/2i\\1/2-1/2i\\4i}$
[/mm]
Die Fourierkoeffizienten wären dann:
[mm] $a_1 [/mm] = [mm] [/mm] = [mm] \bruch{7\wurzel{2}}{2}+\bruch{\wurzel{2}}{2}i$
[/mm]
[mm] $a_2 [/mm] = [mm] [/mm] = [mm] \wurzel{17}i$
[/mm]
Ich hoffe, jetzt stimmt's. Wäre dankbar für eine weitere Kontrolle.
Liebe Grüße.
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Hallo MeMeansMe,
> Hallo,
>
> >
> > Die Vektoren [mm]v_{1}, \ v_{2}[/mm] sind nicht orthogonal in
> > [mm]}\IC^3}[/mm]
> >
>
> Neuer Versuch. Zur Erinnerung: [mm]S = \{s_1, s_2\} = \{\vektor{1\\i\\0}, \vektor{1-i\\2\\4i}\}[/mm]
> und [mm]h = \vektor{3+i,4i,-4}[/mm].
>
> [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] sind die orthogonales Vektoren:
>
> [mm]v_1 = s_1 = \vektor{1\\i\\0}[/mm]
> [mm]v_2 = s_2 - \bruch{}{\parallel v_1 \parallel^2}v_1 = \vektor{1-i\\2\\4i}-\bruch{1-3i}{2}\vektor{1\\i\\0} = \vektor{1/2+1/2i\\1/2-1/2i\\4i}[/mm]
>
> Das Skalarprodukt von [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] ergibt 0, d.h. die
> Vektoren sind orthogonal.
>
> Die Längen sind:
>
> [mm]\parallel v_1 \parallel = \wurzel{2}[/mm]
> [mm]\parallel v_2 \parallel = \wurzel{17}[/mm]
>
> Und die normierten Vektoren [mm]n_1[/mm] und [mm]n_2[/mm] dann:
>
> [mm]n_1 = \bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1\\i\\0}[/mm]
> [mm]n_2 = \bruch{1}{\wurzel{17}}\vektor{1/2+1/2i\\1/2-1/2i\\4i}[/mm]
>
> Die Fourierkoeffizienten wären dann:
>
> [mm]a_1 = = \bruch{7\wurzel{2}}{2}+\bruch{\wurzel{2}}{2}i[/mm]
>
> [mm]a_2 = = \wurzel{17}i[/mm]
>
> Ich hoffe, jetzt stimmt's. Wäre dankbar für eine weitere
> Kontrolle.
>
Jetzt stimmt's. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Liebe Grüße.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:34 Do 12.03.2015 | | Autor: | MeMeansMe |
Perfekt, danke :)
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