Gram-Schmidt-Verfahren < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 So 04.01.2009 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | Wir betrachten den euklidischen Raum der Polynome [mm] \IR_{2}[x]
[/mm]
<r(x), [mm] s(x)>:=r_{2}s_{2}+2r_{2}s_{2}+r_{0}s_{0} [/mm] mit [mm] r(x)=r_{2}x^2+r_{1}x+r_{0} [/mm] und [mm] s(x)=s_{2}x^2+s_{1}x+s_{0} [/mm] und eine Basis [mm] B={p_{1}(x),p_{2}(x),p_{3}(x)}
[/mm]
Daraus soll eine Orthonormalbasis [mm] {q_{1},q_{2},q_{3}} [/mm] nach dem Gram-Schmidt-Verfahren berechnet werden.
Die konkrete Aufg. lautet dazu:
[mm] p_{1}(x)= -6x^2-6x-6
[/mm]
[mm] p_{2}(x)= 3x^2+1
[/mm]
[mm] p_{3}(x)= [/mm] 4
a) [mm] q_{1}(x) [/mm] berechnen |
Hallo,
bekommt man da für [mm] q_{1}(x)= \bruch{-(2x+1)}{28} [/mm] raus? Denn ich verstehe nicht, ob man dann für das Integral immer [mm] \integral_{-1}^{1}{(-6x^2-6x-6)^2 dx}=168 [/mm] nimmt und ob das so richtig ist. => [mm] (-6x^2-6x-6)/128
[/mm]
Ich hoffe jemand kann mir dies beantworten.
|
|
| |
|
Hallo nina1,
> Wir betrachten den euklidischen Raum der Polynome
> [mm]\IR_{2}[x][/mm]
> <r(x), [mm]s(x)>:=r_{2}s_{2}+2r_{2}s_{2}+r_{0}s_{0}[/mm] mit
Muß hier nicht stehen:
[mm]:=r_{2}s_{2}+2r_{\blue{1}}s_{\blue{1}}+r_{0}s_{0}[/mm]
> [mm]r(x)=r_{2}x^2+r_{1}x+r_{0}[/mm] und [mm]s(x)=s_{2}x^2+s_{1}x+s_{0}[/mm]
> und eine Basis [mm]B={p_{1}(x),p_{2}(x),p_{3}(x)}[/mm]
> Daraus soll eine Orthonormalbasis [mm]{q_{1},q_{2},q_{3}}[/mm] nach
> dem Gram-Schmidt-Verfahren berechnet werden.
>
> Die konkrete Aufg. lautet dazu:
>
> [mm]p_{1}(x)= -6x^2-6x-6[/mm]
> [mm]p_{2}(x)= 3x^2+1[/mm]
> [mm]p_{3}(x)=[/mm] 4
>
> a) [mm]q_{1}(x)[/mm] berechnen
> Hallo,
>
> bekommt man da für [mm]q_{1}(x)= \bruch{-(2x+1)}{28}[/mm] raus? Denn
> ich verstehe nicht, ob man dann für das Integral immer
> [mm]\integral_{-1}^{1}{(-6x^2-6x-6)^2 dx}=168[/mm] nimmt und ob das
> so richtig ist. => [mm](-6x^2-6x-6)/128[/mm]
>
> Ich hoffe jemand kann mir dies beantworten.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 So 04.01.2009 | | Autor: | nina1 |
Ja das stimmt, da habe ich mich verschrieben.
Also wie berechnet man jetzt das [mm] ||p_{1}(x)||? [/mm] In Beispielaufgaben war dann immer ein Integral gegeben -1,1 aber muss man das dann hier auch so rechnen?
|
|
|
| |
|
Hallo nina1,
> Ja das stimmt, da habe ich mich verschrieben.
>
> Also wie berechnet man jetzt das [mm]||p_{1}(x)||?[/mm] In
> Beispielaufgaben war dann immer ein Integral gegeben -1,1
> aber muss man das dann hier auch so rechnen?
>
>
Nach Definition geht das dann über die Koeffizienten.
[mm]=r_{2}s_{2}+2r_{1}s_{1}+r_{2}s_{2}[/mm]
,wobei
[mm]r\left(x\right)=r_{2}x^{2}+r_{1}x+r_{0}[/mm]
und
[mm]s\left(x\right)=s_{2}x^{2}+s_{1}x+s_{0}[/mm]
Beispiel:
[mm]=<-6x^{2}-6x-6,-6x^{2}-6x-6>[/mm]
[mm]=\left(-6\right)*\left(-6\right)+2*\left(-6\right)*\left(-6\right)+\left(-6\right)*\left(-6\right)=4*36=144[/mm]
Gruß
Mathepower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 So 04.01.2009 | | Autor: | nina1 |
Ah, ok, vielen Dank für deine Hilfe. Dann ist also [mm] q_{1}(x)=\bruch{-6x^2-6x-6}{144}=\bruch{-(2x+1)}{24}
[/mm]
Wenn man jetzt [mm] I_{2}: [/mm] mit [mm] p_{2}(x)-*q_{1}(x) [/mm] berechnet geht das also dann so
[mm] I_{2}= (3x^2+1)-<3x^2+1, (\bruch{-(2x+1)}{24})>*(\bruch{-(2x+1)}{24})
[/mm]
mit [mm] <3x^2+1, (\bruch{-(2x+1)}{24})> [/mm] = -1/24
[mm] I_{2}= (3x^2+1)- [/mm] x/288 + 577/576
Dieses Ergebnis müsste doch richtig sein oder?
|
|
|
| |
|
Hi Nina,
müsste man für q1(x) nicht beachten das [mm] \parallel [/mm] p1 [mm] \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{
Dann müsste nämlich im Nenner [mm] \wurzel{144}=12 [/mm] stehen.
Hoffe hier meldet sich noch jemand der es genau weiss.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:12 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Cline |
> müsste man für q1(x) nicht beachten das [mm]\parallel[/mm] p1
> [mm]\parallel[/mm] = [mm]\wurzel{
> Dann müsste nämlich im Nenner [mm]\wurzel{144}=12[/mm] stehen.
> Hoffe hier meldet sich noch jemand der es genau weiss.
> LG
Hi,
stimmt du hast recht!!!
aber ich weiß leider nicht wie man von [mm] -6x^2-6x-6/144 [/mm]
auf -(2x+1)/24 kommt.
man kürzt mit 6 aber da komme ich auf [mm] -x^2-x/24[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo nina1,
> Ah, ok, vielen Dank für deine Hilfe. Dann ist also
> [mm]q_{1}(x)=\bruch{-6x^2-6x-6}{144}=\bruch{-(2x+1)}{24}[/mm]
Hier muß stehen:
[mm]\bruch{-6x^2-6x-6}{ \red{12}}[/mm]
>
> Wenn man jetzt [mm]I_{2}:[/mm] mit [mm]p_{2}(x)-*q_{1}(x)[/mm]
> berechnet geht das also dann so
>
> [mm]I_{2}= (3x^2+1)-<3x^2+1, (\bruch{-(2x+1)}{24})>*(\bruch{-(2x+1)}{24})[/mm]
Die Formel muß doch so lauten:
[mm]I_{2}= (3x^2+1)-\bruch{<3x^2+1, \bruch{-(2x+1)}{24}>}{\red{<\bruch{-(2x+1)}{24}, \bruch{-(2x+1)}{24}>}}*\left(\bruch{-(2x+1)}{24}\right)[/mm]
>
> mit [mm]<3x^2+1, (\bruch{-(2x+1)}{24})>[/mm] = -1/24
>
> [mm]I_{2}= (3x^2+1)-[/mm] x/288 + 577/576
>
> Dieses Ergebnis müsste doch richtig sein oder?
>
Gruß
MathePower
|
|
|
|
