Gram-Schm.-Orthonormalisierung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 So 24.04.2005 | | Autor: | Olek |
Guten Abend,
bei der folgenden Aufgabe habe ich bereits die Orthonormale Basis bestimmt, ich weiß allerdings nicht genau, wie ich jetzt auf die Übergangsmatrix komme.
Es sei [mm] \IB [/mm] = [mm] {u_{1}, u_{2}, u_{3}} [/mm] die Basis von [mm] \IR^{3} [/mm] bestehend aus den Vektoren [mm] u_{1} [/mm] = (1,1,1), [mm] u_{2} [/mm] = (1,-1,1), [mm] u_{3} [/mm] = (1,-1,-1) und [mm] \hat \IB [/mm] die ON-Basis, die aus [mm] \IB [/mm] durch Gram-Schmidt-Ortonormalisierung entsteht. Bestimmen sie die Übergangsmatrix von [mm] \IB [/mm] nach [mm] \hat \IB.
[/mm]
Vielen Dank für eure Hilfe,
Olek
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 So 24.04.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Guten Abend,
> bei der folgenden Aufgabe habe ich bereits die
> Orthonormale Basis bestimmt, ich weiß allerdings nicht
> genau, wie ich jetzt auf die Übergangsmatrix komme.
>
> Es sei [mm]\IB[/mm] = [mm]{u_{1}, u_{2}, u_{3}}[/mm] die Basis von [mm]\IR^{3}[/mm]
> bestehend aus den Vektoren [mm]u_{1}[/mm] = (1,1,1), [mm]u_{2}[/mm] =
> (1,-1,1), [mm]u_{3}[/mm] = (1,-1,-1) und [mm]\hat \IB[/mm] die ON-Basis,
> die aus [mm]\IB[/mm] durch Gram-Schmidt-Ortonormalisierung entsteht.
> Bestimmen sie die Übergangsmatrix von [mm]\IB[/mm] nach [mm]\hat \IB.[/mm]
>
> Vielen Dank für eure Hilfe,
> Olek
Nehmen wir mal an deine Basis [mm]\hat \IB[/mm] besteht aus den Vektoren [mm] $w_1, w_2, w_3$ [/mm] . Dann musst du nun deine Ursprünglichen Vektoren [mm] u_1, u_2 , u_3 [/mm] in der neuen Basis darstellen. Du musst also für jeden Vektor [mm] $u_j$ [/mm] die Gleichung
[mm] u_j = \lambda_{1,j} w_1 + \lambda_{2,j} w_2 + \lambda_{3,j} w_3 [/mm]
lösen. Dazu stellst du den Vektor jeweils mit seinen 3 Komponenten dar und erhälst zu ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und dazu jeweils die entsprechenden Komponenten [mm] $\lambda_{i,j}$ [/mm] für jeden Vektor [mm] $w_i$ [/mm] und [mm] $u_j$.
[/mm]
Dann stellst du das in einer Matrix dar:
[mm] T := (\lambda_{i,j})_{i,j = 1 ... 3} [/mm]
und du erhälst die Transformationsmatrix von [mm]\IB[/mm] nach [mm]\hat \IB[/mm]. Da dieses Indexgefusel etwas verwirrend ist, das ganze nochmal in verbaler Form: Du erstellst für jeden Vektor [mm] $u_j$ [/mm] die (eindeutige!) Linearkombination aus den Vektoren [mm] $w_i$. [/mm] Mit den ensprechenden Koeffizienten [mm]\lambda_{i,j}[/mm]. Dann schreibst du diese Linearkombination in eine Spalte von oben nach unten und dann für jeden Vektor [mm] $u_j$ [/mm] rechts angefügt.
Ich hoffe es ist nun klar geworden.
Gruß Micha 
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