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Forum "Lineare Abbildungen" - Gram-Matrix
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Gram-Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:34 So 26.09.2010
Autor: papilio

Aufgabe
Es sei ß die folgende Bilinearform auf dem R-Vektorraum [mm] R^{1x3}: [/mm]
ß : [mm] R^{1x3} [/mm] x [mm] R^{1x3} [/mm] -> R; ß([x1; x2]; [y1; y2]) = x1y1 + 2x2y2 - x1y2 + x2y1:
Berechnen Sie die Gram-Matrix von ß bezüglich der Basis B := ([1; 1]; [1;-1]).

Hallo,

wenn ich eine Gram-Matrix zu berechnen habe, dann setze ich doch die Basis in die Abbildung ein und da ich nur die eine Basis gegeben habe, müsste ichdamit dann auch die Gam-Matix gegeben haben. Wenn ich das hier allerdings mache, dann kommt lediglich 1 herraus, aber das ist doch nicht meien Gram-Matrix, oder?

Rechnung:
ß(B) = ß([1; 1]; [1; -1]) = 1*1 + 2*1*(-1) - 1*(-1) + 1*1 =1

        
Bezug
Gram-Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:02 So 26.09.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Papilio,


> Es sei ß die folgende Bilinearform auf dem R-Vektorraum
> [mm]R^{1x3}:[/mm]
>  ß : [mm]R^{1x3}[/mm] x [mm]R^{1x3}[/mm] -> R; ß([x1; x2]; [y1; y2]) = x1y1

> + 2x2y2 - x1y2 + x2y1:
>  Berechnen Sie die Gram-Matrix von ß bezüglich der Basis
> B := ([1; 1]; [1;-1]).
>  Hallo,
>  
> wenn ich eine Gram-Matrix zu berechnen habe, dann setze ich
> doch die Basis in die Abbildung ein und da ich nur die eine
> Basis gegeben habe, müsste ichdamit dann auch die
> Gam-Matix gegeben haben. Wenn ich das hier allerdings
> mache, dann kommt lediglich 1 herraus, aber das ist doch
> nicht meien Gram-Matrix, oder?
>  
> Rechnung:
>  ß(B) = ß([1; 1]; [1; -1]) = 1*1 + 2*1*(-1) - 1*(-1) +
> 1*1 =1

Die Einträge der Grammatrix berechnen sich doch als [mm]a_{ij}=\beta((b_i,b_j))[/mm]

Wobei die [mm]b_i[/mm] die Basisvektoren sind, also [mm]b_1=(1,1), b_2=(1,-1)[/mm]

Der Eintrag [mm]a_{11}[/mm] ist [mm]\beta(b_1,b_1)=\beta((1,1),(1,1))=1\cdot{}1+2\cdot{}1\cdot{}1-1\cdot{}1+1\cdot{}1=3[/mm]

Den Eintrag [mm]a_{12}[/mm] hast du oben schon berechnet ...

Nun rechne mal zuende ...

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Gram-Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:17 So 26.09.2010
Autor: papilio

Aso...

also habe ich dann [mm] M_{B}( [/mm] ß ) = [mm] \pmat{ 3 & 1 \\ -3 & 3 } [/mm] ?

Bezug
                        
Bezug
Gram-Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:24 So 26.09.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Aso...
>  
> also habe ich dann [mm]M_{B}([/mm] ß ) = [mm]\pmat{ 3 & 1 \\ -3 & 3 }[/mm] ?

Jo, sieht gut aus!

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Gram-Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:25 So 26.09.2010
Autor: papilio

Danke für die Hilfe =)

Bezug
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