Gradientenfeld und Potenzial(2 < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für die folgenden Vektorfelder (vektor)F überprüfe man, ob sie Gradientenfelder sind und bestimme gegebenfalls ein Potenzial.
(a) (vektor)F(x,y,z) := [mm] (x^{2}y [/mm] , [mm] ze^x [/mm] , xyln(z)) auf D = [mm] \IR [/mm] X [mm] \IR [/mm] X [mm] (\IR [/mm] \ {x [mm] \in \IR [/mm] | x [mm] \le [/mm] 0})
(b) (vektor)F(x,y,z) := ( x+z , -y-z , x-y)
Warum ist in (a) der Vektor (vektor)F(x,y,z) für z [mm] \le [/mm] 0 nicht definiert? |
(vektor)F bestizt ein Gradientenfeld, wenn rot (vektor)F = 0 ist
ich bin mir hier bei der lösung nicht sicher, ich habe zwei lösungen berechnet, welche davon ist richtig, falls überhaupt eine davon richtig ist?
erste lösung:
[mm] \vektor{ xln(z) - e^x \\ 0 - yln(z) \\ ze^x -x^2} [/mm] = xln(z) - [mm] e^x [/mm] - yln(z) + [mm] ze^x [/mm] - [mm] x^2
[/mm]
zweite lösung:
[mm] \vektor{ -xln(z) - e^x \\ 0 + yln(z) \\ ze^x -x^2} [/mm] = ln(z)*(y-x) + [mm] e^x*(z-1) [/mm] - [mm] x^2 [/mm]
Begründung zur zweiten lösung: in der aufgabe steht dass die x variable von [mm] F_Z [/mm] negativ ist.
Da nicht null herauskommt gibts es kein Gradientenfeld und ohne Gradientenfeld gibts kein Potenzial.
Der Vektor (vektor)F(x,y,z) für z [mm] \le [/mm] 0 ist nicht definiert, weil der Logarithmus nicht für negative z Werte definiert ist.
betrachtet man den logarithmus im zweidimensionalen raum und sei z die x achse im zwei dimensionalen. Der Logarithmus schmiegt sich bei kleiner werdenende x immer näher an die y-Achse, erreicht diese aber nie. Die Logarithmusfunktion verläuft von vierten in der ersten Quadranten.
Nun zu Aufgabenteil b):
(vektor)F ist ein Gradientenfeld da rot (vektor)F = 0 ist.
Bestimmung des Potenzials:
[mm] \integral F_1 [/mm] dx = [mm] \integral [/mm] x + z dx = [mm] \bruch{1}{2}x^2 [/mm] + zx + [mm] c_1(y,z)
[/mm]
[mm] \integral F_2 [/mm] ) dy = [mm] \integral [/mm] -y -z dy = [mm] -\bruch{1}{2}y^2 [/mm] + zy + [mm] c_2(x,z)
[/mm]
[mm] \integral F_3 [/mm] dz = [mm] \integral [/mm] x - y dz = xz - yz + [mm] c_3(x,y)
[/mm]
nun muss ich die konstante [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] und [mm] c_3 [/mm] so bestimmen dass alle drei integrierten funktionen gleich sind. in der vorlesung wurde uns bisher aber nur gezeigt dass man diese konstanten einfach rät. doch der prof meinte dass bei schwierigeren funktionen das raten keine gute methode ist, leider hat es uns noch keine andere methode gezeigt wie man die konstante ohne zu raten ausrechnen kann. und ich komme schon bei dieser aufgabe mit raten nicht weiter. kann mir da einer helfen?
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Hallo BlubbBlubb,
> Für die folgenden Vektorfelder (vektor)F überprüfe man, ob
> sie Gradientenfelder sind und bestimme gegebenfalls ein
> Potenzial.
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> (a) (vektor)F(x,y,z) := [mm](x^{2}y[/mm] , [mm]ze^x[/mm] , xyln(z)) auf D =
> [mm]\IR[/mm] X [mm]\IR[/mm] X [mm](\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
\ {x [mm]\in \IR[/mm] | x [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0})
>
> (b) (vektor)F(x,y,z) := ( x+z , -y-z , x-y)
>
> Warum ist in (a) der Vektor (vektor)F(x,y,z) für z [mm]\le[/mm] 0
> nicht definiert?
> (vektor)F bestizt ein Gradientenfeld, wenn rot (vektor)F =
> 0 ist
>
> ich bin mir hier bei der lösung nicht sicher, ich habe zwei
> lösungen berechnet, welche davon ist richtig, falls
> überhaupt eine davon richtig ist?
>
> erste lösung:
>
> [mm]\vektor{ xln(z) - e^x \\ 0 - yln(z) \\ ze^x -x^2}[/mm] = xln(z)
> - [mm]e^x[/mm] - yln(z) + [mm]ze^x[/mm] - [mm]x^2[/mm]
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> zweite lösung:
>
>
> [mm]\vektor{ -xln(z) - e^x \\ 0 + yln(z) \\ ze^x -x^2}[/mm] =
> ln(z)*(y-x) + [mm]e^x*(z-1)[/mm] - [mm]x^2[/mm]
Die erste Lösung ist richtig,
Schreibe hier aber nur:
[mm]rot\left(F\left(x,y,z\right)\right)=\pmat{x \ln\left(z\right) - e^{x} \\ -y \ln\left(z\right) \\ z*e^{x}-x^{2}}[/mm]
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> Begründung zur zweiten lösung: in der aufgabe steht dass
> die x variable von [mm]F_Z[/mm] negativ ist.
>
> Da nicht null herauskommt gibts es kein Gradientenfeld und
> ohne Gradientenfeld gibts kein Potenzial.
>
> Der Vektor (vektor)F(x,y,z) für z [mm]\le[/mm] 0 ist nicht
> definiert, weil der Logarithmus nicht für negative z Werte
> definiert ist.
> betrachtet man den logarithmus im zweidimensionalen raum
> und sei z die x achse im zwei dimensionalen. Der
> Logarithmus schmiegt sich bei kleiner werdenende x immer
> näher an die y-Achse, erreicht diese aber nie. Die
> Logarithmusfunktion verläuft von vierten in der ersten
> Quadranten.
>
>
> Nun zu Aufgabenteil b):
>
> (vektor)F ist ein Gradientenfeld da rot (vektor)F = 0 ist.
>
> Bestimmung des Potenzials:
>
> [mm]\integral F_1[/mm] dx = [mm]\integral[/mm] x + z dx = [mm]\bruch{1}{2}x^2[/mm] +
> zx + [mm]c_1(y,z)[/mm]
>
> [mm]\integral F_2[/mm] ) dy = [mm]\integral[/mm] -y -z dy = [mm]-\bruch{1}{2}y^2[/mm]
> + zy + [mm]c_2(x,z)[/mm]
Hier heißt es doch:
[mm]\integral_{}^{}{F_{2} \ dy} = \integral_{}^{} { -y -z \ dy} = -\bruch{1}{2}y^2 \red{-} zy + c_2(x,z)[/mm]
>
> [mm]\integral F_3[/mm] dz = [mm]\integral[/mm] x - y dz = xz - yz +
> [mm]c_3(x,y)[/mm]
>
> nun muss ich die konstante [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm] und [mm]c_3[/mm] so bestimmen
> dass alle drei integrierten funktionen gleich sind. in der
> vorlesung wurde uns bisher aber nur gezeigt dass man diese
> konstanten einfach rät. doch der prof meinte dass bei
> schwierigeren funktionen das raten keine gute methode ist,
> leider hat es uns noch keine andere methode gezeigt wie man
> die konstante ohne zu raten ausrechnen kann. und ich komme
> schon bei dieser aufgabe mit raten nicht weiter. kann mir
> da einer helfen?
Nun, vergleiche hier je zwei Funktionen:
[mm]\bruch{1}{2}x^2+zx + c_{1}\left(y,z\right)=-\bruch{1}{2}y^{2} - zy + c_{2}\left(x,z\right)[/mm]
Durch Vergleich erhält man:
[mm]c_{1}\left(y.z\right)=-\bruch{1}{2}y^{2}-zy+C\left(z\right)[/mm]
[mm]c_{2}\left(x,z\right)=\bruch{1}{2}x^{2}+zx+C\left(z\right)[/mm]
Somit lautet das Potential:
[mm]\bruch{1}{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)+z\left(x-y\right)+C\left(z\right)[/mm]
Das leiten wir nun nach z ab und vergleichen mit [mm]F_{3}[/mm]:
[mm]F_{3}=x-y=\bruch{\partial}{\partial z}\left(\bruch{1}{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)+z\left(x-y\right)+C\left(z\right)\right)=x-y+\bruch{ \partial C}{\partial z}[/mm]
Hieraus folgt, daß [mm]C\left(z\right) [/mm] eine Konstante ist.
Daraus ergibt sich jetzt die endgültige Potentialfunktion zu:
[mm]\bruch{1}{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)+z\left(x-y\right)+C[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:03 Mi 10.12.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
danke für die hilfe
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