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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:15 Do 31.07.2008 | | Autor: | FrankM |
| Aufgabe | Berechnen Sie:
[mm] grad(\bruch{1}{f(x)}), [/mm] wobei grad für den Gradienten steht und [mm] f:\IR^3\to \IR [/mm] mit [mm] f(x)=\summe_{n=1}^{N} y_n \theta_n(x) [/mm] mit [mm] y_n \in \IR [/mm] und es existieren N Mengen [mm] M_n \in \IR^3 [/mm] mit [mm] \bigcup_{n=1}^{N}\overline{M_n}=\IR^3 [/mm] und die Schnitte der Inneren der Mengen sind leer. [mm] \theta_n [/mm] ist dann die charakteristische Funktion für die n-te Menge, also
[mm] \theta_n(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in M_n \\ 0.5, & \mbox{für } x \in \partial M_n \\ 0, & \mbox{für } x \not\in \overline{M_n} \end{cases}. [/mm]
Hinweis das Ergebnis lautet:
[mm] grad(\bruch{1}{f})=\bruch{y_{n1}-y_{n2}}{y_{n1}*y_{n2}}\overrightarrow{n_S}\delta_S, [/mm] wobei [mm] \overrightarrow{n_S} [/mm] der Normalenvektor und [mm] \delta_S [/mm] die Deltafunktion auf der Oberfläche ist. |
Hallo,
mein Ansatz war
[mm] grad(\bruch{1}{f})=\bruch{grad(f)}{f^2} [/mm] und da gilt [mm] grad{f}=(y_{n1}-y_{n2})\overrightarrow{n_S}\delta_S [/mm] (Da Sprung der Größe [mm] y_{n1}-y_{n2} [/mm] in Normalenrichtung) erhalte ich (mit [mm] f=0.5(y_{n1}+y_{n2}) [/mm] auf dem Rand)
[mm] grad(\bruch{1}{f})=\bruch{(y_{n1}-y_{n2})}{0.25(y_{n1}+y_{n2})^2}\overrightarrow{n_S}\delta_S [/mm] und damit ein anderes als das angegebene Ergebnis. Daher meine Frage, wo ist mein Fehler und wie ist der richtige Ansatz.
Vielen Dank
Frank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 Do 07.08.2008 | | Autor: | FrankM |
Hallo,
wäre nach wie vor für Tipps Dankbar.
Gruß
Frank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Do 14.08.2008 | | Autor: | PeterB |
Hallo Frank,
du machst in der Rechnung einen kleinen Vorzeichenfehler und einen konzeptionellen Fehler:
Der Vorzeichenfehler:
> [mm]grad{f}=(y_{n1}-y_{n2})\overrightarrow{n_S}\delta_S[/mm] (Da
> Sprung der Größe [mm]y_{n1}-y_{n2}[/mm] in Normalenrichtung)
Normalenrichtung ist nach Außen, daher ist der Sprung: [mm] $y_{n2}-y_{n1}$
[/mm]
Nun gut das war aber nicht die Frage, das konzeptionelle Problem ist leider ein typisches Physiker Problem:
Die delta-Funktion ist eben keine Funktion, genauso wie der Gradient kein (gewöhnlicher) Gradient ist. Alles muss als Distribution aufgefasst werden. Insbesondere auch $f$. Nun tritt das Problem auf, dass Distributionen (zumindest im klassischen Sinn) kein wohl bestimmtes Produkt haben. Daher macht der Ausdruck:
> [mm]grad(\bruch{1}{f})=\bruch{grad(f)}{f^2}[/mm]
einfach keinen Sinn. Bei deinem Beispiel sieht man auch was schief geht: [mm] $\frac [/mm] 1 [mm] {f^2}$ [/mm] ist eine Funktion, die wir aber als Distribution auffassen. Wenn wir die Funktion nun auf den Rändern deiner Mengen abändern, ergibt sich eine andere Funktion, die aber dieselbe Distribution repräsentiert, da wir nur Änderungen auf einer Nullmenge vorgenommen haben. (Def zu einer Funktion gehörigen Distribution durch Integral). Die zwei "naiven" Produkte mit [mm] $\delta_S$ [/mm] sind aber auch als Distributionen verschieden.
Ich glaube, dass es tatsächlich theoretische Möglichkeiten gibt, für Distributionen Produkte zu definieren, allerdings ist das nicht so einfach! Ich würde für dein Problem vorschlagen, dass du einfach erst [mm] $\frac [/mm] 1 f$ ausrechnest und dann den Gradient davon.
Ich hoffe das war nicht zu konfus. Leider ist die exakte Theorie der Distributionen nicht so einfach. Für die meisten Anwendungen kann man naiv rechnen, aber manchmal (wie hier) geht es eben schief.
Gruß
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 Do 14.08.2008 | | Autor: | FrankM |
Vielen Dank für die Hinweise,
sie haben mir weiter geholfen.
Gruß
Frank
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