Gradient und Taylor < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 So 25.04.2010 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | (i) Sei [mm] r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. [/mm] Zeigen Sie: [mm] \nabla f(r)=\frac{df(r)}{dr}\nabla [/mm] r.
(ii) f(a) besitze eine Taylorentwicklung um den Punkt [mm] a_0. [/mm] Man zeige, dass f von der Form [mm] f(a)=f(a_0)+(a-a_0)\nabla f(a_0)+\mathcal{O}(|a-a_0|^2)
[/mm]
ist, mit [mm] \underset{\epsilon\rightarrow0}{\mbox{lim}}\mathcal{O}(\epsilon)=0. [/mm] |
Hallo,
so richtig viel kann ich zu beiden nicht beitragen.
Zu (i):
[mm] \nabla f(r)=\begin{pmatrix}\partial_{x}f(r)\\
\partial_{y}f(r)\\
\partial_{z}f(r)\end{pmatrix}. [/mm] Jetzt müssen die einzelnen Vektorzeilen ja quasi nach Kettenregel differenziert werden.
Wieso ist dann aber z.B. [mm] \partial_{x}f(r)=\frac{df(r)}{dr}\frac{dr}{dx}? [/mm] Das müsste ja so sein, wenn die zu beweisende Aussage nicht falsch wäre.
Wie beweise ich es dann weiter?
Zum zweiten Teil. Das zu zeigende sieht ja schon sehr nach Taylor aus. Wenn man quasi den 1D-Fall betrachtet, bekommt man:
[mm] f(a)=f(a_{0})+(a-a_{0})f'(a_{0})+...
[/mm]
Was ich jetzt nur begründen muss, ist doch einerseits, warum da der nabla-Operator steht, und warum der Rest gegen 0 geht oder?
Wie kann ich das machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:28 So 25.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die erst Frage versteh ich nicht ganz, f(r) ist doch ausführlicher [mm] f(\wurzel{x^2+y^2+z^2}) [/mm] wie würdest du etwa [mm] e^{\wurzel{x^2+y^2+z^2}} [/mm] nach x usw ableiten oder [mm] sin(\wurzel{x^2+y^2+z^2})
[/mm]
beim zweiten teil würd ich sehen, wie das im normalen Taylor 1d geht und dann übertragen. natürlich aus der def. von [mm] \nabla
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:44 Mo 26.04.2010 | | Autor: | Unk |
> Hallo
> die erst Frage versteh ich nicht ganz, f(r) ist doch
> ausführlicher [mm]f(\wurzel{x^2+y^2+z^2})[/mm] wie würdest du etwa
> [mm]e^{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}[/mm] nach x usw ableiten oder
> [mm]sin(\wurzel{x^2+y^2+z^2})[/mm]
Naja partiell eben. Dass meine Aussagen nicht ganz sinnvoll sind, ist mir klar, sonst hätte ich ja nicht nachgefragt. Ich weiß nur nun leider immer noch nicht, wie ich es korrekt aufschreibe.
> beim zweiten teil würd ich sehen, wie das im normalen
> Taylor 1d geht und dann übertragen. natürlich aus der
> def. von [mm]\nabla[/mm]
> Gruss leduart
Naja das habe ich im Prinzip doch schon gemacht. [mm] \nabla=(\partial_x,\partial_y,\partial_z).
[/mm]
Wenn nun f in [mm] a_0 [/mm] eine Taylor-Entwicklun besitzt, würde ja im 1D Fall gelten: [mm] f(a)=f(a_0)+f'(a_0)(a-a_0)+...
[/mm]
Wie bringt man da im Mehrdimensional dann das [mm] \nabla [/mm] ein? Und vor allem, wie beweist man, dass das Restglied gegen 0 geht?
Das ist mir alles leider noch nicht klarer als vorher.
Grüße
unk
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Mo 26.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo unk
ich versteh noch immer nicht, warum du das mit der part. Ableitung von f(r) nicht siehst.ich hatte dich gebeten z. Bsp [mm] sin(r)=sin(\wurzel{x^2+y^2+z^2}) [/mm] nach x abzuleiten.Mach das mal konkret! und dann schreib statt sin f und statt cos df/dr
und statt [mm] \partial(\wurzel{x^2+y^2+z^2})/\partial [/mm] x [mm] \partial r/\partial [/mm] x.
wenn du einfach "Naja partiell eben" schreibst hast dus sicher nicht gemacht.
zu 2 schreib [mm] |a-a_0| [/mm] in Komponenten. am besten die ganze Taylorformel wirklich in vektorschreibweise!
sieh nach wie du [mm] O|a-a_0| [/mm] in 1d gezeigt hast, das übertrag auf 3d
Aber du musst es erstmal wirklich hinschreiben! Und dann sagen, wo du scheiterst. Ich hab das Gefühl, dass du einfach die Beh. anstarrst und nichts probierst.
Gruss leduart
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