Gradient und Hessenmatrix < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:39 Do 05.06.2014 | | Autor: | Coxy |
| Aufgabe | Das elektrische Potential einer Punktladung im Koordinatenursprung ist durch folgende Funktion gegeben:
[mm] phi(\overrightarrow{x})=\bruch{Q}{4\Pi*E*|\overrightarrow{x}}|
[/mm]
Bestimme das elektrische Feld [mm] \overrightarrow{E}(x1, [/mm] x2, x3)
Hinweis: [mm] \overrightarrow{E}=- \overrightarrow{Nabla Operator}*phi [/mm] |
Ich habe leider nicht so ganz verstanden wie ich vorgehen muss.
angenommen
[mm] \overrightarrow{x}= \vektor{x \\ y \\z}
[/mm]
Soll ich [mm] phi(\overrightarrow{x}) [/mm] dann nach x, y und z ableiten und daraus die Hessenmatrix bilden oder muss ich irgendwie anders vorgehen um das elektrische Feld zu bestimmen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:56 Do 05.06.2014 | | Autor: | chrisno |
[mm] $\vec{\nabla} [/mm] = [mm] \vektor{\br{\partial}{\partial x} \\ \br{\partial}{\partial y} \\ \br{\partial}{\partial z} }$
[/mm]
Rechne [mm] $-\vec{\nabla} \phi(\vec{x})$ [/mm] aus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Fr 06.06.2014 | | Autor: | Coxy |
Ich bekomme für
[mm] f(x)=\bruch{Q}{4\pi*E*\wurzel{(x^2+y^2+z^2)}}
[/mm]
Meine 3 Ableitungen nach den Variablen sind dann
[mm] f(x)/dx=\bruch{Q*x}{4\pi*E*(x^2+y^2+z^2)^{\bruch{3}{2}}}
[/mm]
[mm] f(x)/dy=\bruch{Q*y}{4\pi*E*(x^2+y^2+z^2)^{\bruch{3}{2}}}
[/mm]
[mm] f(x)/dz=\bruch{Q*z}{4\pi*E*(x^2+y^2+z^2)^{\bruch{3}{2}}}
[/mm]
Somit ist mein elektrisches Feld
[mm] E=-\vektor{\bruch{Q*x}{4\pi*E*(x^2+y^2+z^2)^{\bruch{3}{2}}} \\ \bruch{Q*y}{4\pi*E*(x^2+y^2+z^2)^{\bruch{3}{2}}} \\ \bruch{Q*z}{4\pi*E*(x^2+y^2+z^2)^{\bruch{3}{2}}} }
[/mm]
wobei x1=x, x2=y, x3=z
Ist das korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Fr 06.06.2014 | | Autor: | chrisno |
> Ich bekomme für
> [mm]f(x)=\bruch{Q}{4\pi*E*\wurzel{(x^2+y^2+z^2)}}[/mm]
> Meine 3 Ableitungen nach den Variablen sind dann
> [mm]f(x)/dx=\bruch{Q*x}{4\pi*E*(x^2+y^2+z^2)^{\bruch{3}{2}}}[/mm]
> [mm]f(x)/dy=\bruch{Q*y}{4\pi*E*(x^2+y^2+z^2)^{\bruch{3}{2}}}[/mm]
> [mm]f(x)/dz=\bruch{Q*z}{4\pi*E*(x^2+y^2+z^2)^{\bruch{3}{2}}}[/mm]
>
> Somit ist mein elektrisches Feld
>
> [mm]E=-\vektor{\bruch{Q*x}{4\pi*E*(x^2+y^2+z^2)^{\bruch{3}{2}}} \\ \bruch{Q*y}{4\pi*E*(x^2+y^2+z^2)^{\bruch{3}{2}}} \\ \bruch{Q*z}{4\pi*E*(x^2+y^2+z^2)^{\bruch{3}{2}}} }[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") doch ist das E im Nenner nicht das E des Feldes
$ = [mm] \bruch{-Q}{4\pi*\epsilon*|r|^3} \vec{r}$
[/mm]
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