Gradient u Ableitungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 Do 18.11.2010 | | Autor: | horus00 |
| Aufgabe | Es sei [mm] f(x,y,z)=x^{2+sin(yz)}
[/mm]
In welche Richtung wächst diese Funktion am stärksten in vom Punkt [mm] (1,\bruch{\pi}{2},-1) [/mm] aus? |
Also ich bilde den Gradienten, da dieser der größte Anstieg ist.
Da die Funktion in [mm] \IR [/mm] abbildet geht das.
Brauche dafür die partiellen Ableitungen: [mm] \bruch{df}{dx}, \bruch{df}{dy}, \bruch{df}{dz}.
[/mm]
[mm] \bruch{df}{dx}=x^{1+sin(yz)}*(2+sin(yz)
[/mm]
[mm] \bruch{df}{dy}=-z*cos(yz)* x^{2+sin(yz)}*ln(x)
[/mm]
[mm] \bruch{df}{dz}=-y*cos(yz)*x^{2+sin(yz)}*ln(x)
[/mm]
Ein Vektor der Form [mm] \vektor{a \\ b \\ c} [/mm] mit den partiellen Ableitungen unternander ist der Gradient von f. Wenn ich dann den Punkt [mm] (1,\bruch{\pi}{2},-1) [/mm] einsetze, bekomme ich einen Vektor der die Richtung des stärksten Anstiegs darstellt.
[mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 0}.
[/mm]
Ist das korrekt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Do 18.11.2010 | | Autor: | Benson |
Hi,
ich sitze auch gerade an den Hausaufgaben, habe auch so weit den gleichen Lösungsansatz - nur eine Frage:
Wie kommt man auf das lnx.. kannst du mir das Abgelittene erklären?
Grüße
Ben
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 Do 18.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du schreibst [mm] x^{2+sin(yz)} [/mm] besser als [mm] x^2*x^{sin(yz)} [/mm]
für die ableitung nach x ist sin(yz) ja ne Konstante
also ist die ableitung einfach. for die abl. nach z und y ist es aber wie wenn du [mm] a^{sin(yz)} [/mm] ableiten sollst.
dann schreib um [mm] a=e^{lna} [/mm] und due hast
[mm] a^{sin(yz)}=(e^{lna})^{sin(yz)}=e^{ln(a)*sin(yz)}
[/mm]
das kannst du sicher selbst nach Kettenregel ableiten
(bei dir a=x)
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Do 18.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
bis auf das Vorzeichen bei den Abl. nach y und z ist es richtig. (sin(x)'=+cos(x)
Gruss leduart
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