Gradient & Tangentialebene < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Durch die Gleichung [mm] f(x)=x^3-2y^2-2z^3+2xy+3xz-2=0[/mm] ist eine Fläche im Raum gegeben. Berechnen Sie im Punkt P=(1,1,1)
a) den Gradienten in (x,y)-Richtung
b) die Gleichung der Tangentialebene an diese Fläche |
Ich bin mir bei dieser Aufgabe nicht so ganz sicher, ob mein Lösungsansatz richtig ist.
a) ich habe die erste Ableitung nach x und die erste Ableitung nach y gebildet. Dann sähe mein Gradient so aus: [mm] grad=\pmat{ 3x^2+2y+3z \\ -4y+2x } [/mm] und für den Punkt P [mm] grad_P=\pmat{ 8 \\ -2 } [/mm]
b) hier bin ich mir jetzt nicht so ganz sicher was der richtige Weg ist. In meiner Formelsammlung habe ich diesen Hinweis gefunden: "Bei einem ebenen Feld verschwindet die dritte Komponente" (Papula) heißt das ich muss nur mit dem x,y-Gradienten die Tangentialebene bestimmen? Das sähe ja dann so aus: [mm] grad_P * (r-r_P)=\pmat{ 8 \\ -2 }*(r-r_P)=\pmat{ 8 \\ -2 }* \pmat{ x-1 \\ y-1 }= 8x-5-2y[/mm]
oder muss ich doch mit dem dreidimensionalen Gradienten rechnen?
[mm] grad=\pmat{ 3x^2+2y+3z \\ -4y+2x \\ -6z^2+3x } grad_p*(r-r_p)=\pmat{ 8 \\ -2 \\ -3 } \pmat{ x-1 \\ y-1 \\z-1 }=8x-2y-3z+4[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Sa 19.09.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
der Gradient ist ja gerade der Normalenvektor auf die Fläche und insofern ist die Rechnung mit dem vollständigen Gradienten okay. Das Skalarprodukt zwischen dem Normalenvektor und jedem beliebiegn Vektor in Ebene ist Null und insofern sollte es komplett heißen:
$$ 8x - 2y -3z +4 = 0 $$
Viele Grüße,
Infinit
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