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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Gradient & Richtungsableitung
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Gradient & Richtungsableitung: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:02 Do 30.07.2009
Autor: jojo1484

Aufgabe
Gegeben sei die Funktion f(x,y) = [mm] cos(x)e^{y} [/mm] für (x,y) [mm] \in\IR² [/mm]

1. Berechnen Sie den Gradienten der Funktion.

2. In welcher richtung wächst die Funktion im Punkt [mm] (x_{0},y_{0}) [/mm] = [mm] (\bruch{\pi}{4},0) [/mm] am stärksten

3. Bestimmen Sie für die Richtung [mm] \omega [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] (1,1) die Richtungsableitung [mm] \bruch{\partial f}{\partial\omega} (\bruch{\pi}{4},0) [/mm]  .

1.

Um den Gradienten zu berechnen habe ich zunächst die ersten Ableitungen bestimmt:

f'_{x} (x,y) = [mm] -sin(x)*e^{y} [/mm]

f'_{y} (x,y) = [mm] cos(x)*e^{y} [/mm]

und habe daraus den Gradienten bestimmt:

grad = [mm] \pmat{ -sin(x)*e^{y} \\ cos(x)*e^{y} } [/mm]

2. Um die Richtung zu finden, in welche die Funktion im Punkt [mm] (\bruch{\pi}{4},0) [/mm] am meisten wächst, setzte ich die Werte für x und y in die Matrix des Gradienten ein.

Das Ergebnis x = 0,0137 und y = 0,9999  zeigt mir,
dass die Funktion im Pumkt am stärkstens in y Richtung wächst.


3. Ich habe überhaupt kein plan wie ich diese Richtungsableitung bestimmen soll. Wäre super wenn mir jemand helfen könnte.

Vielen Dank für Euer bemühen.

Mit freundlichen Grüßen

Jojo

        
Bezug
Gradient & Richtungsableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:47 Do 30.07.2009
Autor: fred97


> Gegeben sei die Funktion f(x,y) = [mm]cos(x)e^{y}[/mm] für (x,y)
> [mm]\in\IR²[/mm]
>  
> 1. Berechnen Sie den Gradienten der Funktion.
>  
> 2. In welcher richtung wächst die Funktion im Punkt
> [mm](x_{0},y_{0})[/mm] = [mm](\bruch{\pi}{4},0)[/mm] am stärksten
>  
> 3. Bestimmen Sie für die Richtung [mm]\omega[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] (1,1) die Richtungsableitung
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial\omega} (\bruch{\pi}{4},0)[/mm]  .
>  1.
>
> Um den Gradienten zu berechnen habe ich zunächst die
> ersten Ableitungen bestimmt:
>  
> f'_{x} (x,y) = [mm]-sin(x)*e^{y}[/mm]
>  
> f'_{y} (x,y) = [mm]cos(x)*e^{y}[/mm]


Lass die striche weg ! [mm] f_{x}(x,y) [/mm]


>  
> und habe daraus den Gradienten bestimmt:
>  
> grad = [mm]\pmat{ -sin(x)*e^{y} \\ cos(x)*e^{y} }[/mm]


Richtig


>  
> 2. Um die Richtung zu finden, in welche die Funktion im
> Punkt [mm](\bruch{\pi}{4},0)[/mm] am meisten wächst, setzte ich die
> Werte für x und y in die Matrix des Gradienten ein.
>  
> Das Ergebnis x = 0,0137 und y = 0,9999  

Wie kommst Du denn auf so etwas ?????




> zeigt mir,
> dass die Funktion im Pumkt am stärkstens in y Richtung
> wächst.


Unfug !

>  
>
> 3. Ich habe überhaupt kein plan wie ich diese
> Richtungsableitung bestimmen soll.

Wie ist denn eine Richtungsableitung definiert ??


FRED



> Wäre super wenn mir
> jemand helfen könnte.
>  
> Vielen Dank für Euer bemühen.
>  
> Mit freundlichen Grüßen
>
> Jojo


Bezug
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