Gradient < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Fr 16.07.2010 | | Autor: | MasterEd |
Hallo,
ist der Gradient bei einer Funktion mit mehreren Variablen, z.B. bei [mm] $f(x,y)=x^2+y$ [/mm] ein Zeilenvektor oder ein Spaltenvektor?
In unseren Aufzeichnungen und Übungen haben wir ihn als Zeilenvektor bezeichnet, in Wikipedia und MuPAD wird aber von einem Spaltenvektor gesprochen. Ich würde jetzt zunächst von der Richtigkeit von Wikipedia ausgehen und sagen:
[mm] $grad_f=\vektor{2x\\ 1}$
[/mm]
Kann mir jemand erklären, wie ich vom Gradienten zur Jacobi-Matrix komme? Vielleicht anhand der Beispielfunktion oben?
Vielen Dank für die Hilfe! ICh habe diese Frage nirgendwo sonst gestellt.
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Hallo MasterEd,
> Hallo,
> ist der Gradient bei einer Funktion mit mehreren
> Variablen, z.B. bei [mm]f(x,y)=x^2+y[/mm] ein Zeilenvektor oder ein
> Spaltenvektor?
>
> In unseren Aufzeichnungen und Übungen haben wir ihn als
> Zeilenvektor bezeichnet, in Wikipedia und MuPAD wird aber
> von einem Spaltenvektor gesprochen. Ich würde jetzt
> zunächst von der Richtigkeit von Wikipedia ausgehen und
> sagen:
> [mm]grad_f=\vektor{2x\\ 1}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Kann mir jemand erklären, wie ich vom Gradienten zur
> Jacobi-Matrix komme? Vielleicht anhand der Beispielfunktion
> oben?
Nun, da ist nix mehr zu tun, der Gradient ist in diesem Falle mit der Jacobi-Matrix identisch.
Für eine diffbare Funktion [mm] $f:\IR^n\to\IR^m$ [/mm] ist die Jacobimatrix eine [mm] $m\times [/mm] n$-Matrix mit sämltlichen partiellen Ableitungen jeder Komponentenfunktion [mm] $f_i$
[/mm]
Hier hast du eine Funktion [mm] $f:\IR^2\to\IR=\IR^1$
[/mm]
Die Jacobimatrix ist also vom Format [mm] $1\times [/mm] 2$, also ein Zeilenvektor.
Deine Funktion hat ja nur eine Komponente ...
>
> Vielen Dank für die Hilfe! ICh habe diese Frage nirgendwo
> sonst gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Fr 16.07.2010 | | Autor: | MasterEd |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Die Funktion $f: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^2$ sei gegeben durch $f(x,y,z) = \left( \begin{array}{c} x^2 + y^2 + z \cdot \sin(x) \\ z^2 + z \cdot \sin(y) \end{array} \right )$
Dann ist
$\frac{\partial}{\partial x} f(x,y,z) &= \left( \begin{array}{c} 2x + z \cdot \cos(x) \\ 0 \end{array} \right)$
$\frac{\partial}{\partial y} f(x,y,z) &= \left( \begin{array}{c} 2y \\ z \cdot \cos(y) \end{array} \right)$
$\frac{\partial}{\partial z} f(x,y,z) &= \left( \begin{array}{c} \sin(x) \\ 2z + \sin(y) \end{array} \right)$
und damit die Jacobi-Matrix
$$D_f(x,y,z) = \left ( \begin{array}{ccc} 2x + z \cdot \cos(x) & 2y & \sin(x) \\ 0 & z \cdot \cos(y) & 2z + \sin(y) \end{array} \right ) $$ |
Okay, soweit verstanden! :) Vielen Dank dafür.
Nun noch eine Frage zur Jacobi-Matrix. Wenn ich die Jacobi-Matrix so berechne, wie im Wikipedia-Artikel (siehe "Aufgabe" oben) beschrieben, dann würde ich doch einen ZEILEN-Vektor erhalten, falls die Funktion nach $\IR$ ginge oder?
Erste Spalte der Matrix die Ableitung nach x, zweite Spalte Ableitung nach y usw.
*confused*
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Hi Ed,
> Die Funktion [mm]f: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^2[/mm] sei
> gegeben durch [mm]f(x,y,z) = \left( \begin{array}{c} x^2 + y^2 + z \cdot \sin(x) \\ z^2 + z \cdot \sin(y) \end{array} \right )[/mm]
>
> Dann ist
> [mm]\frac{\partial}{\partial x} f(x,y,z) &= \left( \begin{array}{c} 2x + z \cdot \cos(x) \\ 0 \end{array} \right)[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial}{\partial y} f(x,y,z) &= \left( \begin{array}{c} 2y \\ z \cdot \cos(y) \end{array} \right)[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial}{\partial z} f(x,y,z) &= \left( \begin{array}{c} \sin(x) \\ 2z + \sin(y) \end{array} \right)[/mm]
>
> und damit die Jacobi-Matrix
>
> [mm]D_f(x,y,z) = \left ( \begin{array}{ccc} 2x + z \cdot \cos(x) & 2y & \sin(x) \\ 0 & z \cdot \cos(y) & 2z + \sin(y) \end{array} \right )[/mm]
>
> Okay, soweit verstanden! :) Vielen Dank dafür.
>
> Nun noch eine Frage zur Jacobi-Matrix. Wenn ich die
> Jacobi-Matrix so berechne, wie im Wikipedia-Artikel (siehe
> "Aufgabe" oben) beschrieben, dann würde ich doch einen
> ZEILEN-Vektor erhalten, falls die Funktion nach [mm]\IR[/mm] ginge
> oder?
> Erste Spalte der Matrix die Ableitung nach x, zweite
> Spalte Ableitung nach y usw.
Korrekt.
Merk dir: Ist $\ f: [mm] \IR^n \to \IR^m [/mm] $ differenzierbar, so ist deine Jacobi-Matrix eine $\ m [mm] \times [/mm] n $-Matrix.
In deinem Fall $\ f: [mm] \IR^3 \to \IR^1 [/mm] $, also ist $\ [mm] J_f [/mm] $ eine $\ 1 [mm] \times [/mm] 3$-Matrix (= Zeilenvektor mit drei Einträgen).
>
> *confused*
Grüße
ChopSuey
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