Grad von Körpererweiterungen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Bestimmen Sie [mm] Q(\wurzel[17]{17}):Q
[/mm]
b) Bestimmen Sie [mm] Q(\wurzel[4]{17},(\wurzel{-17}):Q
[/mm]
c) Seien [mm] \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} [/mm] die komplexen Nullstellen des Polynoms [mm] X^{4}-5. [/mm]
Bestimmen Sie [mm] Q(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}):Q. [/mm] |
Ich tue mich mit diesen Aufgaben sehr schwer.
Vielleicht kann ja mal jemand meine Lösungen überprüfen.
a) [mm] \wurzel[17]{17} [/mm] ist Nullstelle des Polynoms [mm] X^{17}-17.
[/mm]
Das Polynom ist irreduzibel und normiert, somit das Minimalpolynom.
Der Grad der Körpererweiterung ist also der Grad des MPs, also 17.
b) [mm] \wurzel[4]{17} [/mm] ist Nullstelle des Minimalpolynoms [mm] X^{4}-17.
[/mm]
Also folgt: [mm] Q(\wurzel[4]{17}):Q [/mm] = 4.
Ausserdem gilt: [mm] \wurzel{17} \in Q(\wurzel[4]{17}), [/mm] aber [mm] \wurzel{-17} [/mm] = [mm] i\wurzel{17} \not\in Q(\wurzel[4]{17}).
[/mm]
Bekanntermassen gilt Q(i):Q = 2. Also auch [mm] Q(\wurzel[4]{17},\wurzel{-17}): Q(\wurzel[4]{17}) [/mm] = 2.
Insgesamt erhält man:
[mm] Q(\wurzel[4]{17},\wurzel{-17}):Q [/mm] = [mm] Q(\wurzel[4]{17},\wurzel{-17}):Q(\wurzel[4]{17}) [/mm] * [mm] Q(\wurzel[4]{17}):Q [/mm] = 2*4 = 8.
c) Die Nullstellen von [mm] X^4 [/mm] - 5 sind hoffentlich: [mm] \wurzel[4]{5},-\wurzel[4]{5},i \wurzel[4]{5},-i \wurzel[4]{5}.
[/mm]
[mm] Q(\wurzel[4]{5}):Q [/mm] = 4, da [mm] \wurzel[4]{5} [/mm] Nullstelle des Minimalpolynoms [mm] X^4-5. [/mm]
[mm] Q(\wurzel[4]{5},i):Q(\wurzel[4]{5})=2.
[/mm]
Die anderen beiden Nullstellen liegen selbstverständlich auch in [mm] Q(\wurzel[4]{5},i).
[/mm]
Mit den Begründungen wie oben wäre [mm] Q(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}):Q [/mm] dann ebenfalls 8.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Fr 14.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> a) Bestimmen Sie [mm]Q(\wurzel[17]{17}):Q[/mm]
>
> b) Bestimmen Sie [mm]Q(\wurzel[4]{17},(\wurzel{-17}):Q[/mm]
Die zweite "(" soll weg, oder? Du bist also an dem Grad von [mm] $\IQ(\sqrt[4]{17}, \sqrt{-17})$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] interessiert.
> c) Seien [mm]\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}[/mm]
> die komplexen Nullstellen des Polynoms [mm]X^{4}-5.[/mm]
> Bestimmen Sie [mm]Q(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}):Q.[/mm]
>
>
>
> Ich tue mich mit diesen Aufgaben sehr schwer.
> Vielleicht kann ja mal jemand meine Lösungen
> überprüfen.
>
>
> a) [mm]\wurzel[17]{17}[/mm] ist Nullstelle des Polynoms [mm]X^{17}-17.[/mm]
> Das Polynom ist irreduzibel und normiert, somit das
> Minimalpolynom.
> Der Grad der Körpererweiterung ist also der Grad des MPs,
> also 17.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) [mm]\wurzel[4]{17}[/mm] ist Nullstelle des Minimalpolynoms
> [mm]X^{4}-17.[/mm]
> Also folgt: [mm]Q(\wurzel[4]{17}):Q[/mm] = 4.
> Ausserdem gilt: [mm]\wurzel{17} \in Q(\wurzel[4]{17}),[/mm] aber
> [mm]\wurzel{-17}[/mm] = [mm]i\wurzel{17} \not\in Q(\wurzel[4]{17}).[/mm]
> Bekanntermassen gilt Q(i):Q = 2. Also auch
> [mm]Q(\wurzel[4]{17},\wurzel{-17}): Q(\wurzel[4]{17})[/mm] = 2.
Genau, da [mm] $\IQ(\wurzel[4]{17},\wurzel{-17}) [/mm] = [mm] \IQ(\wurzel[4]{17}, [/mm] i)$ ist.
> Insgesamt erhält man:
>
> [mm]Q(\wurzel[4]{17},\wurzel{-17}):Q[/mm] =
> [mm]Q(\wurzel[4]{17},\wurzel{-17}):Q(\wurzel[4]{17})[/mm] *
> [mm]Q(\wurzel[4]{17}):Q[/mm] = 2*4 = 8.
> c) Die Nullstellen von [mm]X^4[/mm] - 5 sind hoffentlich:
> [mm]\wurzel[4]{5},-\wurzel[4]{5},i \wurzel[4]{5},-i \wurzel[4]{5}.[/mm]
(da $1, -1, i, -i$ die vierten Einheitswurzeln sind.)
> [mm]Q(\wurzel[4]{5}):Q[/mm] = 4, da [mm]\wurzel[4]{5}[/mm] Nullstelle des
> Minimalpolynoms [mm]X^4-5.[/mm]
> [mm]Q(\wurzel[4]{5},i):Q(\wurzel[4]{5})=2.[/mm]
>
> Die anderen beiden Nullstellen liegen selbstverständlich
> auch in [mm]Q(\wurzel[4]{5},i).[/mm]
>
> Mit den Begründungen wie oben wäre [mm]Q(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}):Q[/mm]
> dann ebenfalls 8.
Stimmt also alles :)
LG Felix
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