Grad einer Polynomfunktion < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 So 20.04.2008 | | Autor: | DieAnna |
Hallo,
ich bin gerade am überlegen, wie man anhand eines Graphen die Art der Funktion bestimmen kann bzw welche eindeutigen Eigenschaften eine [mm] x^3 [/mm] Kurve hat.
Meine Überlegungen sind (unsicher):
Kann man sagen wenn eine Kurve genau ein Minium und ein Maximum hat, dass das typisch für eine [mm] x^3 [/mm] Kurve ist?
Wie kann man im Allgemeinen anhand eines Graphen erkennen um welche Grad es sich handelt?
liebe Grüße
Anna
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo DieAnna,
> Hallo,
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> ich bin gerade am überlegen, wie man anhand eines Graphen
> die Art der Funktion bestimmen kann bzw welche eindeutigen
> Eigenschaften eine [mm]x^3[/mm] Kurve hat.
>
> Meine Überlegungen sind (unsicher):
>
> Kann man sagen wenn eine Kurve genau ein Minium und ein
> Maximum hat, dass das typisch für eine [mm]x^3[/mm] Kurve ist?
>
> Wie kann man im Allgemeinen anhand eines Graphen erkennen
> um welche Grad es sich handelt?
An der höchsten x-Potenz, wobei der Koeffient auch ungleich 0 sein muss.
[mm]p\left(x\right)=a_{n}*x^{n} + \ \dots \ +a_{1}*x+a_{0}[/mm]
Wenn [mm]a_{n} \not = 0[/mm], dann ist n der Grad des Polynoms.
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> liebe Grüße
> Anna
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 So 20.04.2008 | | Autor: | DieAnna |
Hallo Mathpower,
danke für deine Antwort. Das hilft mir schon viel weiter!
Weisst du zufällig auch, ob es möglich ist das zu bestimmen wenn man die Kurve nur interpretiert also ohne mathematische Berechnungen?
LG
Anna
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 14:18 So 20.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Es gibt da einige Indizien, von denen du den Grad der Funktion erahnen kannst.
Wenn du den Graphen gezeichnet hast, kannst du dir mal die Anzahl der Nullstellen notieren. Das ist dann der höchstmögliche Grad.
(Hast du bei einer Nullstelle gleichzeitig auch ein Extrema, kannst du diese doppelt zählen).
Oder d zählst due Extrempunkte: Es kann immer nur einen Extrempunkt weniger geben, als der Grad der Funktion. Hast du also die Zahl der Extrema, ist der Grad der Funktion mindestens um eins grösser.
Ähnliches Gilt für die Wendepunkte. Deren Anzahl +2 ergibt den maximalen Grad.
Zuletzt hilft noch das Verhalten gegen [mm] \pm\infty.
[/mm]
Laufen beide Grenzwerte gegen [mm] \infty [/mm] oder [mm] -\infty, [/mm] also in eine "Richtung" hast du eine Funktion mit einem geraden Grad, also 2,4,6, etc.
Laufen sie "gegeneinander" (also einmal [mm] +\infty, [/mm] einmal [mm] -\infty), [/mm] hast du einen ungeraden Grad.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 So 20.04.2008 | | Autor: | DieAnna |
Hallo Marius,
Das hilft mir viel weiter! Dankeschön.
Jetzt habe ich trotzdem noch eine Frage zu den Nullstellen.
Inwiefern ist eine Nullstelle eine Nullstelle wenn die Kurve entlang der y Achse verschoben ist und deshalb die x Achse nicht schneidet?
Ich nehme der Begriff "Nullstelle" bezieht sich auf theoretisch mögliche Anzahl der Nullstellen. Stimmt das so? Kann man das irgendwie mehr mathematisch Ausdrücken?
Liebe Grüße
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:48 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Durch eine Verschiebung einer Funktion in richtung der y-Achse werden sich im Allgemeinen stest die Lage und auch evtl auch die Anzahl der nullstellen verändern.
Nimm Dir dazu mal das Beispiel: $y \ = \ [mm] x^2$ [/mm] und verschiebe diese Parabel mal nach oben und nach unten ...
Unter  Nullstelle versteht man stets die Schnittstelle mit der x-Achse.
Gruß
Loddar
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Hi Marius,
da ist nicht alles in Ordnung...
> Hallo.
>
> Es gibt da einige Indizien, von denen du den Grad der
> Funktion erahnen kannst.
"erahnen" ----> das ist o.k.
>
> Wenn du den Graphen gezeichnet hast, kannst du dir mal die
> Anzahl der Nullstellen notieren. Das ist dann der
> höchstmögliche Grad.
Das ist falsch. Die Funktion f mit [mm] f(x)=x^{100} + 1 [/mm] hat den Grad hundert, jedoch keine einzige reelle (also in der Zeichnung sichtbare) Nullstelle.
Richtig wäre die folgende Aussage:
Eine Polynomfunktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen.
> (Hast du bei einer Nullstelle gleichzeitig auch ein
> Extrema, kannst du diese doppelt zählen).
>
> Oder d zählst due Extrempunkte: Es kann immer nur (maximal !) einen
> Extrempunkt weniger geben, als der Grad der Funktion. Hast
> du also die Zahl der Extrema, ist der Grad der Funktion
> mindestens um eins grösser.
Dies ist so in Ordnung.
>
> Ähnliches Gilt für die Wendepunkte. Deren Anzahl +2 ergibt
> den maximalen Grad.
Auch dies ist schon am obigen Beispiel wieder ganz daneben. Die Kurve hat keinen einzigen Wendepunkt, aber nicht etwa den maximalen Grad 2, sondern eben 100.
>
> Zuletzt hilft noch das Verhalten gegen [mm]\pm\infty.[/mm]
> Laufen beide Grenzwerte gegen [mm]\infty[/mm] oder [mm]-\infty,[/mm] also in
> eine "Richtung" hast du eine Funktion mit einem geraden
> Grad, also 2,4,6, etc.
> Laufen sie "gegeneinander" (also einmal [mm]+\infty,[/mm] einmal
> [mm]-\infty),[/mm] hast du einen ungeraden Grad.
Das ist wieder in Ordnung (wenigstens falls der Grad überhaupt mindestens 1 ist)
sorry für die schlechte Nachricht, aber trotzdem viele Grüsse
al-Chwarizmi
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 15:28 So 20.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast natürlich recht, das war etwas schwammig formuliert
Marius
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft) | | Datum: | 15:30 So 20.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
Sorry, sehr schwammig formuliert. Al Chwarisimi hat recht.
Marius
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Hi
es geht doch eigneltich darum, wie man am Graphen den Grad erkennen kann. Also was mir spontan einfällt:
Eine Funktion vom Grad n kann
- maximal n Nullstellen
- maximal n-1 Extremstellen und
- maximal n-2 Wendestellen haben.
Und ob ungerade oder gerader Grad vorliegt, kann man ganz einfach am Randverhalten erkennen.
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:06 So 20.04.2008 | | Autor: | DieAnna |
Hallo Patrick,
vielen Dank für deine Antwort. Du drückst genau das aus womit ich meine Problemchen hatte :)
greetz
von Anna
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 So 20.04.2008 | | Autor: | DieAnna |
äähm da hat dich doch noch ne Frage eingeschlichen.
Wie ist das mit dem Randverhalten gemeint? Daraus werde ich gerade nicht schlau...^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 So 20.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Es sind die Ränder des Definitionsbereiches gemeint. Also: gegen welche Werte strebt $f(x)_$ für [mm] $x\rightarrow-\infty$ [/mm] bzw. [mm] $x\rightarrow+\infty$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 So 20.04.2008 | | Autor: | DieAnna |
Hallo,
ja, das erscheint mir sinnvoll.
Vielen Dank.
Gruß,
Anna
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