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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Grad des Polynoms
Grad des Polynoms < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Grad des Polynoms: Bestimmung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 Mo 24.11.2008
Autor: devilsdoormat

Hallo,

ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum gestellt.

Erstmal: Achtung, ich bin Physiker. Von daher entschuldigt bitte meine vielleicht etwas unmathematischen Formulierungen, was Differentialgleichungen betrifft.

Ich habe hier die Differentialgleichung

[mm]x*y'+x^2*y''=c^2*y[/mm]

wobei y eine Funktion von x und [mm] c^2 [/mm] eine Konstante ist. Ich hab die Funktion durch

[mm] u := x*y [/mm]

substituiert und bin dadurch auf die Differentialgleichung

[mm]u''=c^2*x^{-2}*u[/mm]

gekommen. Die Lösung ist also ein Polynom. Aus ähnlichen Problemen war mir dies bereits bekannt und ich weiß, dass das Polynom y (!) bei mir den grad c haben muss. Und genau den bekomme ich nicht bestimmt. Ich bin das wie folgt angegangen: sei g der Grad des Polynoms u. Dann muss doch gelten:

[mm] c^2=g*(g-1)=g^2-g \Rightarrow g^2-g-c^2=0 \Rightarrow g = \bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{1}{4} + c^2}[/mm]

Damit komme ich doch aber nie und nimmer auf den grad c für das Polynom y...

Kann mir da jemand weiterhelfen?

Vielen Dank!

        
Bezug
Grad des Polynoms: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:25 Mo 24.11.2008
Autor: MathePower

Hallo devilsdoormat,

> Hallo,
>
> ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum
> gestellt.
>  
> Erstmal: Achtung, ich bin Physiker. Von daher entschuldigt
> bitte meine vielleicht etwas unmathematischen
> Formulierungen, was Differentialgleichungen betrifft.
>  
> Ich habe hier die Differentialgleichung
>  
> [mm]x*y'+x^2*y''=c^2*y[/mm]
>  
> wobei y eine Funktion von x und [mm]c^2[/mm] eine Konstante ist. Ich
> hab die Funktion durch
>  
> [mm]u := x*y[/mm]
>  
> substituiert und bin dadurch auf die Differentialgleichung
>  
> [mm]u''=c^2*x^{-2}*u[/mm]
>  
> gekommen. Die Lösung ist also ein Polynom. Aus ähnlichen
> Problemen war mir dies bereits bekannt und ich weiß, dass
> das Polynom y (!) bei mir den grad c haben muss. Und genau
> den bekomme ich nicht bestimmt. Ich bin das wie folgt
> angegangen: sei g der Grad des Polynoms u. Dann muss doch
> gelten:
>  
> [mm]c^2=g*(g-1)=g^2-g \Rightarrow g^2-g-c^2=0 \Rightarrow g = \bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{1}{4} + c^2}[/mm]
>  
> Damit komme ich doch aber nie und nimmer auf den grad c für
> das Polynom y...
>  
> Kann mir da jemand weiterhelfen?


Probiere es mit dem Ansatz [mm]y=x^{r}[/mm]


>  
> Vielen Dank!


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Grad des Polynoms: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:37 Mo 24.11.2008
Autor: devilsdoormat

:) so einfach kann das Leben manchmal sein

Vielen Dank!!!

Bezug
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