Grad der Körpererweiterung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Fr 09.02.2007 | | Autor: | hanesy |
| Aufgabe | Seien p,q verschiedene Primzahlen
Zeige:
[mm] [\IQ(\wurzel[]{p},\wurzel[]{q});\IQ]=4 [/mm] |
Hallo allerseits!
Also es ist klar, dass gilt:
[mm] [\IQ(\wurzel[]{p}:\IQ]=2
[/mm]
da [mm] X^{2}-p [/mm] als Nullstelle [mm] \wurzel[]{p} [/mm] enthält und nach Eisenstein irreduzibel ist.
Damit bleibt ja eigentlich nur zu zeigen, dass [mm] \wurzel[]{q} [/mm] nicht Element von [mm] \IQ(\wurzel[]{p}) [/mm] ist! Das ist mir zwar irgendwie klar, aber ich schaffe es nicht, dass formal richtig zu zeigen! Ich könnte nur damit argumentieren dass die beiden linear unabhängig sind, aber das wirkt mir etwas unsauber!
Hat vielleicht jemand eine Idee?
Viele Grüße
Hannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Fr 09.02.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Hannes!
> Seien p,q verschiedene Primzahlen
> Zeige:
>
> [mm][\IQ(\wurzel[]{p},\wurzel[]{q});\IQ]=4[/mm]
> Also es ist klar, dass gilt:
> [mm][\IQ(\wurzel[]{p}:\IQ]=2[/mm]
> da [mm]X^{2}-p[/mm] als Nullstelle [mm]\wurzel[]{p}[/mm] enthält und nach
> Eisenstein irreduzibel ist.
> Damit bleibt ja eigentlich nur zu zeigen, dass
> [mm]\wurzel[]{q}[/mm] nicht Element von [mm]\IQ(\wurzel[]{p})[/mm] ist! Das
> ist mir zwar irgendwie klar, aber ich schaffe es nicht,
> dass formal richtig zu zeigen! Ich könnte nur damit
> argumentieren dass die beiden linear unabhängig sind, aber
> das wirkt mir etwas unsauber!
Was ist daran 'unsauber'? (Unsauberkeiten wären nach den Foren-Regeln auch gar nicht zugelassen!) Wenn 1 und [mm]\wurzel[]{q}[/mm] über [mm]\IQ(\wurzel[]{p})[/mm] linear unabhängig sind, dann ist doch nach dem Gradsatz alles klar.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 Fr 09.02.2007 | | Autor: | hanesy |
Alles klar, dann vielen Dank für die prompte Antwort und ein schönes Wochenende!
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