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Hallo,
ich hab die Gleichung:
sinx-cos2x=0
mein Lösungsversuch:
[mm] \wurzel{1-cos²x}-cos2x=0
[/mm]
[mm] \wurzel{1-cos²x}=cos2x [/mm] /²
1-cos²x=cos²4x
1=cos²5x
cos²x=1/5
[mm] cosx=\wurzel{1/5}
[/mm]
cosx=0,4477
x1=63,44°
x2=360°-63,44°=296,55°
Könnte mir jemand sagen was ich falsch gemacht hab!!
Danke!
lg martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:47 Do 10.10.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Highlandgold!
Du quadrierst falsch. Denn es gilt: [mm] $\left[\cos(2x)\right]^2 [/mm] \ = \ [mm] \cos^2(\red{2}x)$
[/mm]
Das heißt, das Argument der Cosinus-Funktion bleibt erhalten.
Du kannst hier auch anwenden (in der Ausgangsgleichung), dass gilt:
[mm] $\cos(2x) [/mm] \ = \ [mm] 1-2*\sin^2(x)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Ich hab jetzt den Fehler ausgebessert !
Aber irgendwie bin ich der Meinung das es immer noch nicht richtig ist!
Lösungsmenge lautet richtigerweise: {30°,150°,270°}
[mm] \wurzel{1-cos²x}-cos2x=0 [/mm]
[mm] \wurzel{1-cos²x}=cos2x [/mm] /²
1-cos²x=cos²2x
1=cos²3x
cos²x=1/3
[mm] cosx=\wurzel{1/3} [/mm]
cosx=0,5773
x1=54,73°
x2=305,26°
x1=63,44°
x2=360°-63,44°=296,55°
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Hallo!
Die Ausgangsgleichun lautet:
sinx-cos2x=0
Loddar hat mir zur Hilfe einen Schritt aufgezeigt
ich hab eine Frage zu dieser von Loddar aufgestellten Gleichung:
[mm] \cos(2x)=1-2\sin^2(x) [/mm]
um auf ein Ergebnis zu kommen muss ich entweder sin oder cos nehmen!?Oder?
und wie kommt er auf [mm] :1-2\sin^2(x) [/mm] ????
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Hallo highlandgold,
> Hallo!
>
> Die Ausgangsgleichun lautet:
>
> sinx-cos2x=0
>
> Loddar hat mir zur Hilfe einen Schritt aufgezeigt
> ich hab eine Frage zu dieser von Loddar aufgestellten
> Gleichung:
>
> [mm]\cos(2x)=1-2\sin^2(x)[/mm]
>
> um auf ein Ergebnis zu kommen muss ich entweder sin oder
> cos nehmen!?Oder?
>
Obige Gleichung ist zu nehmen.
Das führt dann auf eine quadratische Gleichung
für [mm]\sin\left(x\right)[/mm].
> und wie kommt er auf [mm]:1-2\sin^2(x)[/mm] ????
Zunächst ist hier ein Additionstheorem benutzt worden:
[mm]cos\left(2x\right)=cos\left(x+x\right)=\cos\left(x\right)*\cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)*\sin\left(x\right)[/mm]
[mm]=\cos^{2}\left(x\right)-\sin^{2}\left(x\right)[/mm]
Anwendung des trigonometrischen Pythagoras:
[mm]\sin^{2}\left(x\right)+cos^{2}\left(x\right)=1[/mm]
liefert obige Gleichung:
[mm]\cos(2x)=1-2\sin^2(x)[/mm]
Gruss
MathePower
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Hallo,
ja aber wieso : [mm] \cos(2x)=1-2\sin^2(x) [/mm]
und nicht [mm] cos(2x)=wurzel{1-cos^2(x)]} [/mm] ????
die Gleichung lautet ja :sinx-cos2x=0
ich versteh das nicht ,denn wenn ich den Pythaoras umforme auf [mm] sin=wurzel{1-cos^2(x)} [/mm] muss ich das für sin in meine Gleichung einsetzen !
oder ??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 So 13.10.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo highlandgold!
> Hallo,
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> ja aber wieso : [mm]\cos(2x)=1-2\sin^2(x)[/mm]
>
>
> und nicht [mm]cos(2x)=wurzel{1-cos^2(x)]}[/mm] ????
Das erklärt dir reverent anderenorts.
> die Gleichung lautet ja :sinx-cos2x=0
Du hast eine Gleichung mit zwei verschiedenen trigonometrischen Funktionen ([mm]\sin[/mm] und [mm]\cos[/mm]) und zwei verschiedenen Argumenten ([mm]x[/mm] und [mm]2x[/mm]).
Mit Verwendung von [mm]\cos(2x)=1-2\sin^2(x)[/mm] erreichst du, dass du eine Gleichung mit nurmehr einer trig. Funktion mit genau einem Argument hast.
> ich versteh das nicht ,denn wenn ich den Pythaoras umforme
> auf [mm]sin=wurzel{1-cos^2(x)}[/mm] muss ich das für sin in meine
> Gleichung einsetzen !
>
> oder ??
Na ja, müssen tust du gar nix  Der Pythagoras ist aber eben nicht der einzige "Trick" den man bei trigonometrischen Funktionen anwenden kann.
Lieben Gruß,
Fulla
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Hallo,
ich will es ja verstehen !
ich weiss nur nicht wie man auf $ [mm] \cos(2x)=1-2\sin^2(x) [/mm] $ kommt???!!!
das ist mir ein Rätsel!
kann mir das irgenjemand schrittweise erklären bitte!!
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 So 13.10.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
>
> ich will es ja verstehen !
>
>
> ich weiss nur nicht wie man auf [mm]\cos(2x)=1-2\sin^2(x)[/mm]
> kommt???!!!
>
> das ist mir ein Rätsel!
>
> kann mir das irgenjemand schrittweise erklären bitte!!
>
> Danke!
Hallo,
für die Sinus- und die Kosinusfunktion gibt es die so genannten Additionstheoreme.
Es gilt erstens
sin(x+y)=sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)
und zweitens
cos(x+y)=cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y).
Für den Spezialfall x=y ergeben sich daraus die Doppelwinkelformeln
sin(x+x)=sin(2x)=2*sin(x)*cos(x)
und cos(x+x)=cos(2x)=[mm]cos^2(x)-sin^2(x)[/mm].
Das war ein wenig Hintergrundwissen.
Wichig für deine Aufgabe ist erst mal nur die letzte Formel
[mm]cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)[/mm]
Für die Umrechnung zwischen [mm]sin^2(x)[/mm] und [mm]cos^2(x)[/mm] gilt nun auch die bekannte (?) Beziehung [mm]sin^2(x)+cos^2(x)=1[/mm].
Durch Umstellen erhält man daraus
[mm]\red{cos^2(x)=1- sin^2(x)} [/mm]
Damit kann man die Doppelwinkelformel für den Kosinus auch umschreiben als
[mm]cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)= \red{1- sin^2(x)} -sin^2(x)[/mm] .
Das vereinfacht sich letztendlich zu
[mm]cos(2x)=1- 2*sin^2(x)[/mm] .
Gruß Abakus
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Danke Abakus jetzt ist mir alles klar!
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Hallo,
ich hab noch ein Problem:
sinx-cos2x=0
[mm] cos2x=1-sin^2(x)
[/mm]
[mm] cos2x=1-(1-cos^2(x))
[/mm]
[mm] cos2x=1-2+2cos^2(x)
[/mm]
[mm] 2cos^2(x)-cos2(x)-1=0
[/mm]
hab dann die quadratische Formel angewendet und bin auf ein falsches Ergebnis gekommen!
Das liegt daran : [mm] 2cos^2(x)+cos2(x)-1=0 [/mm] also das vorzeichen bei cos2(x) ist nicht richtig !
Ich finde aber nichts was ich falsch gemacht hätte!
Bitte um Hilfe!!
danke
lg martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 So 13.10.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> ich hab noch ein Problem:
>
> sinx-cos2x=0
Hallo,
addiere auf beiden Seiten cos(2x):
sin(x)=cos(2x)
Ersetze jetzt cos(2x) durch [mm]1-\red{2}*sin^2(x)[/mm]:
[mm]sin(x)=1-2*sin^2(x)[/mm] .
Gruß Abakus
>
> [mm]cos2x=1-sin^2(x)[/mm]
>
> [mm]cos2x=1-(1-cos^2(x))[/mm]
>
> [mm]cos2x=1-2+2cos^2(x)[/mm]
>
> [mm]2cos^2(x)-cos2(x)-1=0[/mm]
>
> hab dann die quadratische Formel angewendet und bin auf ein
> falsches Ergebnis gekommen!
>
> Das liegt daran : [mm]2cos^2(x)+cos2(x)-1=0[/mm] also das
> vorzeichen bei cos2(x) ist nicht richtig !
>
> Ich finde aber nichts was ich falsch gemacht hätte!
>
> Bitte um Hilfe!!
>
> danke
>
> lg martin
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
[mm]\cos^2(2x)+\cos^2(x)\neq\cos^2(3x)[/mm]
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Additionstheoremen
