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| Aufgabe | | Man teile die Strecke 1 in 2 Teilstrecken so, dass das Verhältnis aus der Strecke mit der Länge 1 und der ersten Teilstrecke gleich dem Verhältnis aus der ersten Teilstrecke und dem Rest ist. |
Von deutsch in Mathe :
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \bruch{x}{1-x} [/mm] // Da alle Zähler/Nenner > 0
[mm] \gdw [/mm] x = [mm] \bruch{1-x}{x}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] - 1
[mm] \gdw [/mm] x²+x-1 = 0
[mm] \gdw [/mm] x²+x+0,25= [mm] \bruch{5}{4}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (x+0,5)² = [mm] \bruch{5}{4}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] |x+0,5| = [mm] \wurzel{ \bruch{5}{4}} [/mm] // da x > 0 ist x+0,5 > 0
[mm] \gdw [/mm] x = [mm] \bruch{\wurzel{5}-1}{2}
[/mm]
Leider soll ja [mm] \bruch{\wurzel{5}+1}{2} [/mm] rauskommen.
Was habe ich falsch gemacht?
Vielen Dank schonmal im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:51 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Leider soll ja $ [mm] \bruch{\wurzel{5}+1}{2} [/mm] $ rauskommen.
Was heißt "ja" ?
Vertraue doch auf deine Lösung. Sie ist vollkaommen in Ordnung.
So wie die Aufgabe gestellt ist, kann doch $ [mm] \bruch{\wurzel{5}+1}{2} [/mm] $ gar kein brauchbarer Wert für x sein, denn als Teilstück einer Strecke mit Länge 1 muss doch x<1 sein wohingegen $ [mm] \bruch{\wurzel{5}+1}{2} [/mm] $ > 1 ist.
Die Auflösung ist wohl folgende :
Gegeben eine Strecke AB und ein Teilungspunkt X auf AB so, dass das Verhältnis der Gesamtstrecke zum längeren Teilstück gleich dem Verhältnis des längeren zum kürzeren Teilstück von AB ist : (mit AX > XB) [mm] \bruch{AB}{AX} [/mm] = [mm] \bruch{AX}{XB}
[/mm]
Dieses Verhältnis lässt sich ausrechnen, es ist [mm] \bruch{\wurzel{5}+1}{2} [/mm] = [mm] \Phi. [/mm] Ist nun AX = 1, so wird AB = [mm] \Phi [/mm] und XB = [mm] \Phi-1 [/mm] = [mm] 1/\Phi [/mm] = [mm] \varphi [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{5}-1}{2}. [/mm] Ist hingegen AB = 1 (so wie in deiner Aufgabe), so wird AX = [mm] \varphi.
[/mm]
Gruß Sax.
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