"Goldener Schnitt" < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Coco84 |
| Aufgabe | Beim "Goldenen Schnitt" wird eine Strecke AB so durch einen Punkt T geteilt, dass [mm] \overline{AB} [/mm] : [mm] \overline{AT} [/mm] = [mm] \overline{AT} [/mm] : [mm] \overline{BT} [/mm] gilt. Setzt man [mm] \overline{AB} [/mm] =1 und [mm] \overline{AT}=x, [/mm] so gilt also
[mm] \alpha:= [/mm] x/1-x=1/x (=große Strecke : kleine Strecke).
Bestimmen Sie die Kettenbruchentwicklung von [mm] \alpha. [/mm] Zeigen Sie, dass die Zähler und Nenner der Näherungsbrüche von [mm] \alpha [/mm] Fibonacci-Zahlen sind. Approximieren Sie [mm] \alpha [/mm] durch Brüche, deren Nenner der Reihe nach nicht größer als 10, nicht größer als 50 und nicht größer als 100 sind. |
Hallo!
Mir ist nicht ganz klar wie ich zeigen kann, dass die Näherungsbrüche von [mm] \alpha [/mm] Fibonacci-Zahlen sind. Es handelt sich bei [mm] \alpha [/mm] ja um die Zahl [mm] 1+\wurzel{5}/2, [/mm] aber wie kann ich daran mit den vorgegeben Angaben annähern?
Vielleicht hat ja jemand einen Tipp oder einen Hinweis für mich!
Vielen Dank!
Coco84
|
|
| |
|
Hi Coco84!
[mm] \alpha [/mm] ist eigentlich der Quotient zweier aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen.. Du kannst also mit 1/1 beginnen-dabei kriegst du ja logischerweise 1. Dann nimmst du 2/1 und kriegst 2. Dannach 3/2, 5/3, 8/5 usw... Und je höher die Zahlen sind, desto genauer wird die Näherung.
Hoffe ist verständlich so..
Liebe Grüsse,
sunshine_
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Mo 28.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Zum Kettenbruch: statt [mm] \alpha [/mm] a
[mm] a=1+\bruch{1}{a}=1+\bruch{1}{1+\bruch{1}{a}} [/mm] und so immer weiter einsetzen.
hört man irgendwo auf, so bekommt man immer einen Bruch aus Fibonnaccizahlen. probiers aus!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Coco84 |
Vielen Dank!
Ich habs ausprobiert und ich erkenne jetzt die Approximation!
Allerdings ist mir immer noch nicht ganz klar, wie ich den letzten Teil der Aufgabe miteinbringen soll, also dass man [mm] \alpha [/mm] durch Brüche, deren Nenner der Reihe nach nicht größer als 10, 50 und 100 sind, annähern soll.
Habt ihr da vielleicht noch einen Tipp für mich?
Nochmals danke schön!
Coco84
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 Mo 28.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast doch jetzt die Fib. Zahlen als Nenner, also nimm die entsprechenden!
Gruss leduart
|
|
|
|
