Globales Min/Max bestimmen. < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachte die Funktion f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] f(x) = [mm] e^{-x^2}. [/mm] Zeige oder widerlege:
a) f hat ein globales Minimum.
b) f hat ein globales Maximum. |
Hallo,
ich habe die Aufgabe gelöst, und möchte nur wissen, ob das so richtig ist.
a) Zeige: f besitzt kein Minimum.
Es gilt: [mm] \limes_{x\rightarrow \pm\infty}x^2 [/mm] = [mm] +\infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow \pm\infty}e^{x^2} [/mm] = [mm] +\infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow \pm\infty}f(x) [/mm] = 0.
[mm] e^{x^2} [/mm] ist auf [mm] [0,+\infty) [/mm] streng monoton steigend, also ist f auf [mm] [0,+\infty) [/mm] streng monoton fallend. Zudem ist f symmetrisch zur y-Achse, also ist f auf [mm] (-\infty,0] [/mm] streng monoton steigend. Also inf f = 0. Aber inf f liegt nicht im Bild von f, da f(x) > 0 für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f besitzt kein Minimum.
b) Zeige: f hat ein globales Maximum.
Es ist f(0) = 1 > 0. Sei a > 0. [mm] \Rightarrow [/mm] f(0) > f(a) > f(x) für alle x [mm] \in (a,+\infty). [/mm] Offensichtlich ist f stetig, und [0,a] eine abgeschlossene und beschränkte Menge. Dann besitzt f eingeschränkt auf [0,a] nach dem Satz von Minimum/Maximum ein c [mm] \in [/mm] [0,a]: f(c) [mm] \ge [/mm] f(x) für alle x [mm] \in [/mm] [0,a]
Insbesondere also: f(c) [mm] \ge [/mm] f(a).
Für x > a gilt aber: f(x) < f(a).
[mm] \Rightarrow [/mm] f(c) [mm] \ge [/mm] f(x) für alle x [mm] \in [0,+\infty)
[/mm]
Da f symmetrisch ist, gilt f(c) [mm] \ge [/mm] f(x) für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Also folgt die Behauptung.
[mm] \Box
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:36 Mo 04.02.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Betrachte die Funktion f: [mm]\IR \to \IR,[/mm] f(x) = [mm]e^{-x^2}.[/mm]
> Zeige oder widerlege:
>
> a) f hat ein globales Minimum.
>
> b) f hat ein globales Maximum.
> Hallo,
>
> ich habe die Aufgabe gelöst, und möchte nur wissen, ob
> das so richtig ist.
>
> a) Zeige: f besitzt kein Minimum.
>
> Es gilt: [mm]\limes_{x\rightarrow \pm\infty}x^2[/mm] = [mm]+\infty[/mm]
> [mm]\Rightarrow \limes_{x\rightarrow \pm\infty}e^{x^2}[/mm] =
> [mm]+\infty[/mm]
> [mm]\Rightarrow \limes_{x\rightarrow \pm\infty}f(x)[/mm] = 0.
> [mm]e^{x^2}[/mm] ist auf [mm][0,+\infty)[/mm] streng monoton steigend, also
> ist f auf [mm][0,+\infty)[/mm] streng monoton fallend. Zudem ist f
> symmetrisch zur y-Achse, also ist f auf [mm](-\infty,0][/mm] streng
> monoton steigend. Also inf f = 0. Aber inf f liegt nicht im
> Bild von f, da f(x) > 0 für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] f
> besitzt kein Minimum.
Das stimmt so, sehr schön.
>
> b) Zeige: f hat ein globales Maximum.
>
> Es ist f(0) = 1 > 0. Sei a > 0. [mm]\Rightarrow[/mm] f(0) > f(a) >
> f(x) für alle x [mm]\in (a,+\infty).[/mm] Offensichtlich ist f
> stetig, und [0,a] eine abgeschlossene und beschränkte
> Menge. Dann besitzt f eingeschränkt auf [0,a] nach dem
> Satz von Minimum/Maximum ein c [mm]\in[/mm] [0,a]: f(c) [mm]\ge[/mm] f(x)
> für alle x [mm]\in[/mm] [0,a]
> Insbesondere also: f(c) [mm]\ge[/mm] f(a).
> Für x > a gilt aber: f(x) < f(a).
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(c) [mm]\ge[/mm] f(x) für alle x [mm]\in [0,+\infty)[/mm]
> Da
> f symmetrisch ist, gilt f(c) [mm]\ge[/mm] f(x) für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Also folgt die Behauptung.
>
> [mm]\Box[/mm]
Das kann man so machen. Man könne aber auch zeigen, dass f(0)=1, also der Punkt P(0|1) ein Hochpunkt der Funktion ist, es gilt:
f'(0)=0 und f''(0)<0.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:13 Mo 04.02.2013 | | Autor: | fred97 |
Zum Maximum:
Für x [mm] \in \IR [/mm] ist [mm] x^2 \ge [/mm] 0, also [mm] e^{x^2} \ge [/mm] 1.
Damit ist f(x) [mm] \le [/mm] 1=f(0)
FRED
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Ok, danke euch beiden.
Ableitungen dürfen wir nicht benutzen, daher der Umweg.
Gruss
Alexander
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