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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 Sa 18.04.2009 | | Autor: | gaugau |
| Aufgabe | $ f(t) = t + t [mm] \* [/mm] ln(t) , t [mm] \in [/mm] ]0,05;1[ $
$ f'(t) = 2 + ln(t) $
$ f''(t) = 1/t $ |
Hallo zusammen,
einer Aufgabe zufolge soll ich die oben angegebene Funktion auf ein globles Minimum untersuchen.
Dieses (einziger Extrempunkt) befindet sich bei [mm] t=e^{-2} [/mm] im Punkt [mm] TP(e^{-2}|-e^{-2}) [/mm] .
Indem ich zeige, dass
$ f'(t) [mm] \le [/mm] 0 $ für alle $ 0,05 < t < [mm] e^{-2} [/mm] $
und
$ f'(t) [mm] \ge [/mm] 0 $ für alle $ [mm] e^{-2} [/mm] < t < 1 $
gilt, beweise ich ja, dass TP ein globales Minimum ist.
Reicht es diese 2 Zeilen zu schreiben oder muss ich das mathematisch noch weiter ausführen? Wie würde ich soetwas dann machen?
Ich könnte mir folgendes vorstellen, aber weiß nicht, ob das richtig bzw. ausreichend ist für eine Begründung.
$ f'(t) [mm] \le [/mm] 0 $ für alle $ 0,05 < t < [mm] e^{-2} [/mm] $ , da $ ln(t) < 2 $ für $ 0,05 < t < [mm] e^{-2} [/mm] $
Danke für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Sa 18.04.2009 | | Autor: | abakus |
> [mm]f(t) = t + t \* ln(t) , t \in ]0,05;1[[/mm]
> [mm]f'(t) = 2 + ln(t)[/mm]
>
> [mm]f''(t) = 1/t[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> einer Aufgabe zufolge soll ich die oben angegebene Funktion
> auf ein globles Minimum untersuchen.
>
> Dieses (einziger Extrempunkt) befindet sich bei [mm]t=e^{-2}[/mm] im
> Punkt [mm]TP(e^{-2}|-e^{-2})[/mm] .
>
> Indem ich zeige, dass
> [mm]f'(t) \le 0[/mm] für alle [mm]0,05 < t < e^{-2}[/mm]
> und
> [mm]f'(t) \ge 0[/mm] für alle [mm]e^{-2} < t < 1[/mm]
> gilt, beweise ich ja,
> dass TP ein globales Minimum ist.
>
> Reicht es diese 2 Zeilen zu schreiben oder muss ich das
> mathematisch noch weiter ausführen? Wie würde ich soetwas
> dann machen?
>
> Ich könnte mir folgendes vorstellen, aber weiß nicht, ob
> das richtig bzw. ausreichend ist für eine Begründung.
> [mm]f'(t) \le 0[/mm] für alle [mm]0,05 < t < e^{-2}[/mm] , da [mm]ln(t) < 2[/mm] für
> [mm]0,05 < t < e^{-2}[/mm]
>
> Danke für eure Hilfe.
Hallo,
im Gegensatz zum lokalen Minimum recht es nict aus, dass der Funktionswert an der Stelle mit dem Minimum kleiner sind als "die Funktionswerte in der näheren Nachbarschaft", sondern, dass es sich um den kleinsten Funktionswert für den gesamten Definitionsbereich handelt.
Wo liegen die Probleme?
1) Bei mehreren lokalen Minima kann nur das mit dem allerkleinsten Funktionswert globales Minimum sein.
2) Es ist möglich, dass die Funktionswerte in der oberen oder unteren Intervallgrenze kleiner sind als beim lokalen Minimum, dann ist das globale Minimum dort.
3) Es könnte sich um offene Intervalle handeln, wo in der Nähe der Intervallgrenzen die Funktionswerte kleiner sind als beim lokalen Minimum, wo es aber keinen kleinsten Wert gibt, weil die Intervallgrenze nicht mit zum Definitionsbereich zälht.
Da es sich bei deiner Aufgabe um ein offenens Intervall handelt, kann es also passieren, dass es kein globales Minimum gibt.
Achte also bei deiner Argumentation vor allem darauf.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Sa 18.04.2009 | | Autor: | gaugau |
> 1) Bei mehreren lokalen Minima kann nur das mit dem
> allerkleinsten Funktionswert globales Minimum sein.
> 2) Es ist möglich, dass die Funktionswerte in der oberen
> oder unteren Intervallgrenze kleiner sind als beim lokalen
> Minimum, dann ist das globale Minimum dort.
> 3) Es könnte sich um offene Intervalle handeln, wo in der
> Nähe der Intervallgrenzen die Funktionswerte kleiner sind
> als beim lokalen Minimum, wo es aber keinen kleinsten Wert
> gibt, weil die Intervallgrenze nicht mit zum
> Definitionsbereich zälht.
> Da es sich bei deiner Aufgabe um ein offenens Intervall
> handelt, kann es also passieren, dass es kein globales
> Minimum gibt.
> Achte also bei deiner Argumentation vor allem darauf.
> Gruß Abakus
Allgemein würde ich dir Recht geben, aber ich meinem Fall habe ich mit der Argumentation den Fall ausgeschlossen und somit ist die Überprüfung des Randextremums nicht notwendig:
Denn indem ich gezeigt habe, dass TP einziger lokale Tiefpunkt ist UND dass der Graph links nur sinkt bzw. rechts steigt, können kleinere Funktionswerte als [mm] f(TP_{y}) [/mm] nicht erreicht werden...
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Hallo gaugau,
in diesem Fall jetzt reicht deine Argumentation, weil du über die erste Ableitung ja argumentiert hast, dass dein gefundenes Minimum globales Minimum sein muss, da in beide Richtungen die Funktionswerte nur ansteigen und niemals abfallend sind.
Je nach Penibilität deiner Lehrer könnte man noch erwähnen, dass die Funktion auf dem gegebenen Intervall stetig ist und somit keine Sprünge auftreten können........... aber das ist hier auch offensichtlich.
Insofern passt deine Argumentation bei dieser Aufgabe.
MfG,
Gono.
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