Globale Konvergenz < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Do 10.04.2008 | | Autor: | Akira |
| Aufgabe | Die Gleichung
x=cos(x)
definiert eine Fixpunktiteration.
Wird diese Iteration Global konvergieren? begründe Deine Antwort.
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann mir das jemand erklären?
Das selbe Problem habe ich auch mit der Gleichung x = g(x) =1-sin(x/2).
Wie kann ich herausfinden ob es globale oder lokale konvergenz ist, bei Fixpunktiterationen?
LG Akira
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Do 10.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] x_n=cos(x_{n-1}) [/mm] ist kontrahierend, wenn die Ableitung <1, das kann man für cosx nicht zeigen, aber |(cos(cos(x))'|<q<1 ist leicht zu zeigen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Do 10.04.2008 | | Autor: | Akira |
Dadurch bestimmt man doch nur ob eine Gleichung kontrahierend gegen einen Fixpunkt ist.
Aber ich muss unterscheiden ob es lokal oder global konvergent ist, wie bekomme ich das heraus?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Do 10.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
vielleicht interpretier ich "global konvergent" falsch. aber man hat doch ne globale Konstante C>1 mit f'<C.
Sonst schreib bitte eure Def. für globale Konvergenz auf.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Do 10.04.2008 | | Autor: | Akira |
Also unsere Definition sieht so aus:
Sei [mm] g:R^n \supset [/mm] G [mm] \to [/mm] G eine iterationsfunktion mit einem Fixpunkt [mm] x_{*} \in [/mm] G. Für jeden Startwert [mm] x_0 [/mm] aus der Umgebung U von a konvergiert die durch [mm] x_{i+1} [/mm] = [mm] g(x_i) [/mm] def. Iterationsfolge gegen den Fixpunkt [mm] x_{*} [/mm] . Dann heißt die iteration zur Bestimmung des fixpunktes logal konvergent.
Wenn U = G ist sie global konvergent.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Do 10.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dann ist deine Abbildung doch global konv. weil ja die Ableitung überall <C<1 ist.
egal mit welchem x man anfängt, nächster Schritt [mm] |x|\le [/mm] 1, d,h, es ist global konv. wenn es für [mm] |x|\le [/mm] 1 konv. mit Fixpunkt x=cosx (nur numerisch zu berechnen)
Gruss leduart
|
|
|
|
