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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 Mi 13.12.2006 | | Autor: | merke |
globale Extrema bestimmen von
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[mm] F(x,y)=(x+1)^2+(y+1)^2 [/mm] auf D=((x,y) [mm] eR^2 [/mm] : betrag(x) <=2 , betrag(y)<=2)
1. Teil: Bestimme mögliche Kandidaten für lokale Extrema im Inneren des Bereichs
(d.h. wo verschwinden alle 1. partielle Ableitungen, oder wo ist grag f=0)
2. Teil: Untersuche die Funktionen auf den Rand des gegebenen Bereichs.
Kann bitte mir jemand sagen wie ich das anstellen soll?
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Hallo merke,
fang doch einfach mal mit der Gradientenbildung an.
[mm]\nabla f = \vektor{\bruch{\delta f}{\delta x} \\ \bruch{\delta f}{\delta y}}[/mm]
Dann Nullstellen bestimmen (steht eigentlich alles in der Aufgabe).
Das mit dem Rand weiß ich aber leider nicht mehr.
(diese Aufgabe hat im Übrigen nichts mit partiellen DGLs zu tun (Differentialgleichung [mm] \not= [/mm] Differenzieren))
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Mi 13.12.2006 | | Autor: | merke |
df/dx=2*(x+1)=2x+2=0 2x=-2 x=-1
df/dx=+2*(y+1)=2y+2=0 2y=-2 y=-1
sind das die kandidaten?
(x1,y1)=(0,-1) (x2,y2)=(-1,0)
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müssten es eigentlich sein, aber da geb ich zu so später Stunde keine Garantie mehr drauf ;) evtl ist noch (0,0) und (-1,-1) dabei.
Teste es einfach mal mit der Hessematrix (ist zwar nicht verlangt, aber dann kannst dir sicher sein - und falls die Frage aufkommt: http://de.wikipedia.org/wiki/Hessematrix).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Mi 13.12.2006 | | Autor: | merke |
d/dx(df/dx)=d/dx(2x+2)=2
d/dy(df/dy)=d/dy(2y+2)=2 df/dx* df/dy=4
detHf(x1,y1)=4 lokale Minimum
detHf(x2,y2)=4 lokale Minimum
detHf(0,0)=4 lokale Minimum
egal was ich einsetze kommt lokales Minimum
ist das das gleiche wie globales Minimum oder wie?
stimmt das was ich hier mache
Mit freundlichen Grüßen merke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:29 Do 14.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
nur das kleinst min. ist kandidat für ein globale. Ausserdem muss man nachprüfen, ob es auf dem Rand noch kleinere F gibt, dann sind die inneren minima nicht global.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:06 Do 14.12.2006 | | Autor: | merke |
Ich habe aber nur zwei Kandidaten (x1,y1)=(0,-1) (x2,y2)=(-1,0) welche ist das kleinste Minimum?
Andre Kandidaten wüsste ich nicht wie ich rechnen soll.
Wie prüfe ich nach, ob es auf dem Rand noch kleinere F gibt. Setze ich einfach Zahlen in Ausgangs Funktion oder wie?
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> Ich habe aber nur zwei Kandidaten (x1,y1)=(0,-1)
> (x2,y2)=(-1,0) welche ist das kleinste Minimum?
> Andre Kandidaten wüsste ich nicht wie ich rechnen soll.
>
Hallo,
wie in meiner Antwort von vor wenigen Minuten erwähnt, ist keiner der beiden Punkte ein lokales Minimum, denn es ist der Gradient an diesen Stellen nicht Null.
> Wie prüfe ich nach, ob es auf dem Rand noch kleinere F
> gibt. Setze ich einfach Zahlen in Ausgangs Funktion oder
> wie?
Nein, Du müßtest ja jeden Punkt auf dem Rand prüfen, was Dich bis an dein Lebensende beschäftigen würde...
Das mußt Du schon einen allgemeineren Weg einschlagen.
Deine Funktion ist zum Glück sehr studentenfreundlich.
Einmal angenommen, Du hättest inzwischen das lokale Minimum gefunden.
Dann solltest Du den Funktionswert an dieser Stelle berechnen.
Als nächstes guckst Du scharf auf die Funktion und überlegst Dir, ob es Stellen gibt, an denen der Wert kleiner sein kann.
Gruß v. Angela
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> df/dx=2*(x+1)=2x+2=0 2x=-2 x=-1
> df/dx=+2*(y+1)=2y+2=0 2y=-2 y=-1
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> sind das die kandidaten?
>
> (x1,y1)=(0,-1) (x2,y2)=(-1,0)
Hallo,
wie kommst Du auf diese Punkte?
Deine Kandidaten müssen doch beide Gleichungen erfüllen.
Setz mal Deine Punkte ein, DIE tun's nicht!
Aber eigentlich hattest Du den funktionierenden Punkt doch schon ausgerechnet...
Gruß v. Angela
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