Glm. Stetigkeit auf (a,b) < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuche folgende Funktionen auf gleichmäßige Stetigkeit:
a) [mm] x^2 [/mm] auf [a,b] [mm] \subseteq \IR
[/mm]
b) [mm] x^7 [/mm] auf (a,b) a,b [mm] \in \IR [/mm] |
Grüß euch Zahlenmeister!
Also wir haben glm. Stetigkeit folgendermaßen definiert:
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0: \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] D(f) mit [mm] |x-y|<\delta> \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon
[/mm]
a)
Es ist ja klar, dass jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall auch gleichmäßig stetig ist. Aber ich möchte, dass aus der Definition zeigen. Und wie bring ich da die Grenzen a und b ins Spiel?
b)
Ich hätte folgenden Vorschlag: [mm] x^7 [/mm] ist ja streng monoton wachsend, dh. ich muss mir nur den Punkt im Intervall anschauen, wo die Ableitung am größten ist. Ich betrachte jetzt mal das Intervall [a,b]. Also wenn |b|>|a|, ist in b die Ableitung am größten. Das heißt ich wähle [mm] \delta<|b-\wurzel[7]{b^7-\varepsilon|}. [/mm] Daher folgt auch die glm. Stetigkeit auf dem Intervall (a,b). Reicht diese (eher geometrische) Erkenntnis, oder sollte man das anders machen?
Bin für jede Hilfe dankbar. Lg
Manuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Sa 20.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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