Glm. Pktw. Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:59 Do 16.02.2006 | | Autor: | DeusRa |
| Aufgabe | Überprüfen Sie die Funktionenfolgen auf pktw. oder glm Konvergenz.
Geben Sie ggf. die Grenzfunkion an:
[mm] $f_{n}, g_{n}: \IR \to \IR$.
[/mm]
[mm] $f_{n}(x)=\bruch{1}{n}*sin(nx)$.
[/mm]
[mm] $g_{n}(x)=\bruch{x}{n}*sin(nx)$.
[/mm]
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Hallo,
diese Aufgabe hat mich verwirrt.
Fangen wir mit [mm] f_{n} [/mm] an:
pktw.kgt ? [mm] \Rightarrow $\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}$=$ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}*sin(nx)$, [/mm] da sin(nx) [mm] \in [/mm] [1,-1] für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
(Kann man das hier einfach vorraussetzen oder muss ich hierfür die Reihe für sin(nx) einsetzen ??).
Und 1/n [mm] \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty [/mm] folgt:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}=0$ [/mm] und somit punktweise konvergent.
glm. kgt ?:
[mm] ||f_{n}-f||=||\bruch{sin(nx)}{n}-0||=sup_{x}(|\bruch{sin(nx)}{n}|) \ge [/mm] |1/n| [mm] \to [/mm] 0 mit n [mm] \to \infty.
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] glm.kgt.
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[mm] g_{n} [/mm] pktw. kgt ?:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}g_{n}$=$ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x}{n}*sin(nx)$=$\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x*sin(xn)}{n}$=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow g_{n} [/mm] ist pktw. kgt.
glm. kgt ?:
[mm] ||g_{n}-g||=||\bruch{x*sin(nx)}{n}-0||=sup_{x}(|\bruch{x*sin(nx)}{n}|), [/mm] für x =n gilt: [mm] |\bruch{n*sin(n²)}{n}|=|sin(n²)| [/mm] und dat Dinge geht nicht gegen 0.
Also nicht glm. kgt.
Ist das richtig so ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 Do 16.02.2006 | | Autor: | SEcki |
> Fangen wir mit [mm]f_{n}[/mm] an:
> pktw.kgt ? [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}[/mm]=[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}*sin(nx)[/mm],
> da sin(nx) [mm]\in[/mm] [1,-1] für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
> (Kann man das
> hier einfach vorraussetzen oder muss ich hierfür die Reihe
> für sin(nx) einsetzen ??).
Kommt drauf an, ob man das schon bewiesen hat ... aber eigentlich schon.
> [mm]||f_{n}-f||=||\bruch{sin(nx)}{n}-0||=sup_{x}(|\bruch{sin(nx)}{n}|) \ge[/mm]
Hier muss es zum Schluß [m]\le[/m] heissen.
> |1/n| [mm]\to[/mm] 0 mit n [mm]\to \infty.[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] glm.kgt.
Das ist okay so.
> [mm]\Rightarrow g_{n}[/mm] ist pktw. kgt.
Okay
> glm. kgt ?:
>
> [mm]||g_{n}-g||=||\bruch{x*sin(nx)}{n}-0||=sup_{x}(|\bruch{x*sin(nx)}{n}|),[/mm]
> für x =n gilt: [mm]|\bruch{n*sin(n²)}{n}|=|sin(n²)|[/mm] und dat
> Dinge geht nicht gegen 0.
Beweis? Das wird schon nicht gegen 0 gehen, aber offensichtlich ist das im0 nicht. Setzte doch [m]x=n*\bruch{\pi}{2}[/m], dann sieht man sofort, das für jedes n es x e gibt, die den Wert [m]\bruch{\pi}{2}[/m] annehmen.
SEcki
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