Glm. Konvergenz < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Für [mm] n\in\IN\setminus{0} [/mm] sei [mm] f_n:=\frac{1}{n}1_{[n,\infty)} [/mm] und [mm] g_n:=\frac{1}{n}1_{[0,n]}.
[/mm]
(Anm.: 1 ist die charakteristische Funktion)
a) Zeige: Die Folge [mm] (f_n)_{n\in\IN} [/mm] konvergiert gleichmäßig gegen die Nullfunktion.
b) Konvergiert [mm] (g_n)_{n\in\IN} [/mm] gleichmäßig gegen die Nullfunktion? |
Hallo,
obige Aufgabe ist ein Teil einer komplexeren Aufgabenstellung. Doch erstmal beschäftigen mich obige Fragen.
Meine Überlegungen:
a)
Ich habe zunächst [mm] f_n [/mm] anders geschrieben, nämlich:
[mm] f_n(x)=\begin{cases}\frac{1}{n}&\text{, falls }x\in[n,\infty)\\0&\text{, falls }x\in(-\infty,n)\end{cases}
[/mm]
Annahme: [mm] f_n [/mm] konvergiert gleichmäßig gegen die Nullfunktion.
Sei [mm] x\in(-\infty,n): [/mm] Trivial, feil f(x)=0.
Sei [mm] x\in[n,\infty). [/mm]
Dann existiert ein [mm] n_0 [/mm] derart, dass [mm] |f_n(x)-f(x)|<\epsilon [/mm] für jedes [mm] \epsilon>0 [/mm] und [mm] n>n_0.
[/mm]
Es ist daher [mm] |\frac{1}{n}-0|<\epsilon. [/mm] Woraus folgt, dass [mm] f_n [/mm] gegen die Nullfunktion glm. konvergiert, da das Ergebnis von x unabhängig ist.
b)
Hier habe ich erneut umgeschrieben:
[mm] g_n(x)=\begin{cases}\frac{1}{n}&\text{, falls }x\in[0,n]\\0&\text{, falls }x\in(-\infty,0)\cup(n,\infty)\end{cases}
[/mm]
Hier würde ich dann ähnlich argumentieren, wie oben bei a).
Aber, da ich mir bei a) bereits unsicher bin, lasse ich es lieber erst einmal.
Gefühlsmäßig würde ich aber schon zustimmen: Ja, auch [mm] g_n [/mm] konvergiert gegen die Nullfunktion.
Ich würde mich freuen, wenn jemand über obiges schauen könnte und eventll. Tipps, Hinweise und/oder Korrektoren vornehmen könnte.
Ich wünsche einen guten Start für 2013!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:54 Mo 31.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Für [mm]n\in\IN\setminus{0}[/mm] sei [mm]f_n:=\frac{1}{n}1_{[n,\infty)}[/mm]
> und [mm]g_n:=\frac{1}{n}1_{[0,n]}.[/mm]
>
> (Anm.: 1 ist die charakteristische Funktion)
>
> a) Zeige: Die Folge [mm](f_n)_{n\in\IN}[/mm] konvergiert
> gleichmäßig gegen die Nullfunktion.
>
> b) Konvergiert [mm](g_n)_{n\in\IN}[/mm] gleichmäßig gegen die
> Nullfunktion?
> Hallo,
>
> obige Aufgabe ist ein Teil einer komplexeren
> Aufgabenstellung. Doch erstmal beschäftigen mich obige
> Fragen.
>
> Meine Überlegungen:
>
> a)
> Ich habe zunächst [mm]f_n[/mm] anders geschrieben, nämlich:
> [mm]f_n(x)=\begin{cases}\frac{1}{n}&\text{, falls }x\in[n,\infty)\\0&\text{, falls }x\in(-\infty,n)\end{cases}[/mm]
>
> Annahme: [mm]f_n[/mm] konvergiert gleichmäßig gegen die
> Nullfunktion.
> Sei [mm]x\in(-\infty,n):[/mm] Trivial, feil f(x)=0.
>
> Sei [mm]x\in[n,\infty).[/mm]
> Dann existiert ein [mm]n_0[/mm] derart, dass [mm]|f_n(x)-f(x)|<\epsilon[/mm]
> für jedes [mm]\epsilon>0[/mm] und [mm]n>n_0.[/mm]
> Es ist daher [mm]|\frac{1}{n}-0|<\epsilon.[/mm] Woraus folgt, dass
> [mm]f_n[/mm] gegen die Nullfunktion glm. konvergiert, da das
> Ergebnis von x unabhängig ist.
>
>
> b)
> Hier habe ich erneut umgeschrieben:
> [mm]g_n(x)=\begin{cases}\frac{1}{n}&\text{, falls }x\in[0,n]\\0&\text{, falls }x\in(-\infty,0)\cup(n,\infty)\end{cases}[/mm]
>
> Hier würde ich dann ähnlich argumentieren, wie oben bei
> a).
> Aber, da ich mir bei a) bereits unsicher bin, lasse ich es
> lieber erst einmal.
> Gefühlsmäßig würde ich aber schon zustimmen: Ja, auch
> [mm]g_n[/mm] konvergiert gegen die Nullfunktion.
>
> Ich würde mich freuen, wenn jemand über obiges schauen
> könnte und eventll. Tipps, Hinweise und/oder Korrektoren
> vornehmen könnte.
Da bislang noch keine Korrektoren da waren, kann ich mir diese auch nicht vornehmen ......
Du hast alles richtig gemacht. Es geht aber einfacher:
Für alle x [mm] \in \IR [/mm] und alle n [mm] \in \IN [/mm] ist
[mm] |f_n(x)| \le \bruch{1}{n} [/mm] und [mm] |g_n(x)| \le \bruch{1}{n}.
[/mm]
>
> Ich wünsche einen guten Start für 2013!
Wünsche ich Dir auch
Gruß FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:11 Mo 31.12.2012 | | Autor: | Sax |
Hi,
dann nimm dir mich vor (oder umgekehrt ?)
Ich glaube, dass die Aufgabenstellung falsch ist.
[mm] (f_n) [/mm] konvergiert nicht gleichmäßig und [mm] (g_n) [/mm] nur dann, wenn der Definitionsbereich auf positive x-Werte beschränkt wird, bzw. die Indikatorfunktion auf [mm] 1_{(- \infty ,n]} [/mm] erweitert wird.
Das "Umschreiben" der Funktionen ist so nicht richtig.
Es ist [mm] f_n(x) [/mm] nicht [mm] \bruch{1}{n} [/mm] , sondern [mm] f_n(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}*x
[/mm]
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:15 Mo 31.12.2012 | | Autor: | fred97 |
Ist A eine Teilmenge von [mm] \IR [/mm] und
[mm] h_n=\bruch{1}{n}*1_A,
[/mm]
so ist
[mm] h_n(x)=\bruch{1}{n}, [/mm] falls x [mm] \in [/mm] A und [mm] h_n(x)=0, [/mm] falls x [mm] \notin [/mm] A
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:29 Mo 31.12.2012 | | Autor: | Sax |
Hi,
dann habt ihr natürlich Recht.
Ich hatte irrtümlich [mm] 1_A(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} x, & \mbox{für } x \in A \\ 0, & \mbox{für } x \not\in A \end{cases} [/mm] angenommen.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:18 Mo 31.12.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Sax,
danke für dein kritisches Auge.
> Hi,
>
> dann nimm dir mich vor (oder umgekehrt ?)
>
> Ich glaube, dass die Aufgabenstellung falsch ist.
Wenn sie falsch ist, dann ist sie falsch, aber immerhin richtig abgetippt. Ich habe weder etwas hinzugefügt noch unterschlagen. ;)
>
> [mm](f_n)[/mm] konvergiert nicht gleichmäßig und [mm](g_n)[/mm] nur dann,
> wenn der Definitionsbereich auf positive x-Werte
> beschränkt wird, bzw. die Indikatorfunktion auf [mm]1_{(- \infty ,n]}[/mm]
> erweitert wird.
>
> Das "Umschreiben" der Funktionen ist so nicht richtig.
> Es ist [mm]f_n(x)[/mm] nicht [mm]\bruch{1}{n}[/mm] , sondern [mm]f_n(x)[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{n}*x[/mm]
Ist aber nicht die Indikatorfunktion lediglich eine Abbildung in die Menge [mm] \{0,1\} [/mm] ?
>
> Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:23 Mo 31.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Sax,
>
> danke für dein kritisches Auge.
>
> > Hi,
> >
> > dann nimm dir mich vor (oder umgekehrt ?)
> >
> > Ich glaube, dass die Aufgabenstellung falsch ist.
> Wenn sie falsch ist, dann ist sie falsch, aber immerhin
> richtig abgetippt. Ich habe weder etwas hinzugefügt noch
> unterschlagen. ;)
> >
> > [mm](f_n)[/mm] konvergiert nicht gleichmäßig und [mm](g_n)[/mm] nur dann,
> > wenn der Definitionsbereich auf positive x-Werte
> > beschränkt wird, bzw. die Indikatorfunktion auf [mm]1_{(- \infty ,n]}[/mm]
> > erweitert wird.
> >
> > Das "Umschreiben" der Funktionen ist so nicht richtig.
> > Es ist [mm]f_n(x)[/mm] nicht [mm]\bruch{1}{n}[/mm] , sondern [mm]f_n(x)[/mm] =
> > [mm]\bruch{1}{n}*x[/mm]
> Ist aber nicht die Indikatorfunktion lediglich eine
> Abbildung in die Menge [mm]\{0,1\}[/mm] ?
so ist es. Was an der Aufgabe falsch sein soll ist mir schleierhaft.
FRED
> >
> > Gruß Sax.
>
|
|
|
|
