Glm. Konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Mi 03.09.2008 | | Autor: | cares87 |
| Aufgabe | Sei [mm] f_{n} \in C^0([a,b]) [/mm] Folge stetiger Fktn. [mm] f_{n} [/mm] konvergiere auf [a,b] glm. gegen f:[a,b] [mm] \to \IR. [/mm] Dann gilt:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \integral_{a}^{b}{f_{n}(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) dx} [/mm] |
Hallo,
versuche gerade den Beweis zu diesem Satz zu verstehen, aber irgendwie versteh ich ih nicht und weiß auch nicht, wieso ich dadurch den Satz gezeigt habe.
Also nach einem Satz aus der Vorlesung folgt aus [mm] f_n [/mm] stetig auf [a,b], dass auch f stetig auf [a,b] ist und damit auch Riemannintber. Soweit okay. Jetzt haben wir die Definition von glm. Konvergenz angewendet:
[mm] |\integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{f_{n}(x) dx}| \le \integral_{a}^{b}{|f(x)-f_{n}(x)| dx} [/mm] (dieser Schritt folgt einfach aus der Stetigkeit der beiden Funktionen, oder?) [mm] \le \integral_{a}^{b} {||f-f_{n}||_{[a,b]} dx} [/mm] (warum ist es kleiner gleich der Supremumsnorm?) [mm] \le ||f-f_{n}||_{[a,b]}(b-a) [/mm] (okay, das ist ja einfach nur der HDI angewendet, oder?).
Ich habe noch eine Notiz am Rand, dass das 0 sein muss wegen der glm. Konvergenz, aber wieso ist das ein Beweis für den Satz? Ich kann grad irgendwie den Zusammenhang nicht so ganz herstellen... (ist wahrscheinlich ne dumme Frage, aber bin grad zu blöd dazu ;) )
Also danke und schöne Grüße,
Caro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Mi 03.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> Sei [mm]f_{n} \in C^0([a,b])[/mm] Folge stetiger Fktn. [mm]f_{n}[/mm]
> konvergiere auf [a,b] glm. gegen f:[a,b] [mm]\to \IR.[/mm] Dann
> gilt:
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] = [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \integral_{a}^{b}{f_{n}(x) dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{a}^{b}{\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) dx}[/mm]
Also die Gleichheit
[mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=\integral_{a}^{b}{\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) dx}[/mm]
Ist klar, da [mm] $f:=\lim f_n$ [/mm] ist. Bleibt noch zu zeigen dass auch wirklich
[mm]x:=\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=\lim_{n \rightarrow \infty} \integral_{a}^{b}{f_{n}(x) dx}=:\lim_{n\to\infty} x_n[/mm]
Wie zeigt man, dass $x$ Grenzwert der Folge [mm] $x_n$ [/mm] ist? Man zeigt dass [mm] $|x_n-x|$ [/mm] beliebig klein wird. Also:
[mm]\left|\integral_{a}^{b}{f(x) dx}-\integral_{a}^{b}{f_{n}(x) dx}\right|
\le \integral_{a}^{b}{|f(x)-f_{n}(x)| dx}
\le \integral_{a}^{b} {||f-f_{n}||_{[a,b]} dx}
\le ||f-f_{n}||_{[a,b]}(b-a)
\le \varepsilon (b-a)[/mm]
Die ersten drei Abschätzungen sind normalerweise "Grundeigenschaften des Integrals", ich muss eigentlich davon ausgehen, dass das bei euch vorher mal bewiesen wurde. Die Beweise dafür hängen davon ab wie ihr euer Integral definiert habt (z.B. über Riemannsche Summen oder als Regelfunktionen). Sie folgen im wesentlichen dadurch, dass sich die Dreiecksungleichung endlicher Summen auch auf Reihen übertragen. Falls du das genauer wissen willst schau also am Besten in deinem Skript/Buch nach oder frag einfach nochmal.
In der zweiten Abschätzung wird [mm] $|f(x)-f_n(x)|$ [/mm] für [mm] $x\in[a,b]$ [/mm] durch [mm] $\parallel f-f_n\parallel_{[a,b]}$ [/mm] abgeschätzt, das geht nach Definition des Supremums, das ist nämlich (die kleinste) eine obere Schranke der Menge [mm] $\{|f(x)-f_n(x)|:x\in[a,b]\}$. [/mm] Dass dieses Supremum überhaupt existiert, also die Menge nach oben beschränkt ist, wird sichergestellt, da die stetige Funktion [mm] $|f-f_n|$ [/mm] auf dem kompakten Intervall $[a,b]$ ein Maximum annimmt.
Edit: Achja, [mm] $||f-f_n||_{[a,b]}$ [/mm] ist natürlich einfach irgendeine reelle Zahl, die insbesondere nicht von $x$ abhängt. Also gilt bei der dritten Abschätzung sogar Gleichheit (also erst recht kleinergleich...  )
[mm]\integral_{a}^{b} {||f-f_{n}||_{[a,b]} dx}
=||f-f_n||_{[a,b]}\cdot\int_a^b1\cdot dx
=||f-f_{n}||_{[a,b]}(b-a)[/mm]
Die eigentliche Kernstelle des Beweises ist eigentlich die letzte Abschätzung, denn erst da kommt die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge [mm] $(f_n)$ [/mm] ins Spiel, denn die bedeutet ja gerade dass [mm] $\parallel f-f_n\parallel$ [/mm] für hinreichend große n beliebig klein wird. Das $(b-a)$ ist dabei nur irgendeine Konstante, die an der Konvergenz nichts ändert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Mi 03.09.2008 | | Autor: | cares87 |
ok, jetzt hab ichs glaub ich verstanden, danke.
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