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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Do 27.03.2008 | | Autor: | Andi |
| Aufgabe | | Der Kunde K erhält zu einem auf [0;1] gleichverteilten Zeitpunkt [mm] T_k [/mm] einen Geldbetrag, für den er ein Auto kaufen will. Zwei Autoverkäufer A, B haben die Möglichkeit, je einmal im Zeitintervall [0;1] ein Angebot abzugeben. Liegt zur Zeit [mm] T_k [/mm] genau ein Angebot vor, so akzeptiert K dieses Angebot; liegen zwei Angebote vor, akzeptiert er das zuletzt eingegangen; liegt kein Angebot vor, akzeptiert er das zuerst eingehende. A weiß, dass B sein Angebot zu einem auf [0;1] gleichverteilten Zeitpunkt [mm] T_B [/mm] abgibt. Wann ist der günstigste Zeitpunkt [mm] t_A [/mm] für A, sein Angebot abzugeben. |
Hallo,
also zunächst einmal habe ich mir überlegt, wann A Erfolg hat:
1. Fall: [mm] t_A
2. Fall: [mm] T_B
3. Fall [mm] T_k
das bedeutet, wenn A das Ereignis "A hat Erfolg" ist:
[mm] P(A)=P(t_A
hier bräuchte ich eure Hilfe, weil ich nicht weiß wie man
die Wahrscheinlichkeiten ausrechnet.
Ich erhoffe mir, dass [mm] P(A)=f(t_A) [/mm] eine Funktion die von [mm] t_A [/mm] ist.
Danach suche ich mit Hilfe der Ableitung, das Maximum.
Viele Grüße,
Andi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Do 27.03.2008 | | Autor: | zetamy |
Hallo Andi,
> also zunächst einmal habe ich mir überlegt, wann A Erfolg
> hat:
> 1. Fall: [mm]t_A
> 2. Fall: [mm]T_B
> 3. Fall [mm]T_k
>
> das bedeutet, wenn A das Ereignis "A hat Erfolg" ist:
> [mm]P(A)=P(t_A
>
> hier bräuchte ich eure Hilfe, weil ich nicht weiß wie man
> die Wahrscheinlichkeiten ausrechnet.
[mm] t_A, T_k, T_B [/mm] sind Elemente des Intervalls [0;1]. Also kannst du deine drei Fälle direkt in Intervalle übertragen:
1. [mm] [0;T_k] [/mm]
2. [mm] [T_B;T_k] [/mm]
3. [mm] [T_k;T_B] [/mm]
Dann gilt für die Wahrscheinlichkeiten:
[mm] P\{t_A\in [0;T_k]\}=\bruch{T_k - 0}{1-0}=T_k [/mm]
Analog für die anderen beiden Fälle.
Die Summe ergibt dann die Wahrscheinlichkeit für das Gesamtereignis. Die Lösung ist auch ohne Rechnung ersichtlich, wenn man sich die drei Fälle ansieht.
Gruß,
zetamy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Do 27.03.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo zetamy,
> [mm]t_A, T_k, T_B[/mm] sind Elemente des Intervalls [0;1]. Also
> kannst du deine drei Fälle direkt in Intervalle
> übertragen:
>
> 1. [mm][0;T_k][/mm]
> 2. [mm][T_B;T_k][/mm]
> 3. [mm][T_k;T_B][/mm]
>
> Dann gilt für die Wahrscheinlichkeiten:
>
> [mm]P\{t_A\in [0;T_k]\}=\bruch{T_k - 0}{1-0}=T_k[/mm]
> Analog für
> die anderen beiden Fälle.
Dann wäre [mm] P(A)=T_k+T_k-T_B+T_B-T_k=T_k [/mm]
hmm ..... aber was bedeutet das?
und wie komme ich damit bei meiner Ausgangsfrage weiter?
Ich habe ja schon geschrieben, dass ich [mm] P(A)=f(t_A) [/mm] bräuchte,
um das Maximum zu bestimmen.
Viele Grüße,
Andi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Do 27.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo zetamy,
>
> > [mm]t_A, T_k, T_B[/mm] sind Elemente des Intervalls [0;1]. Also
> > kannst du deine drei Fälle direkt in Intervalle
> > übertragen:
> >
> > 1. [mm][0;T_k][/mm]
> > 2. [mm][T_B;T_k][/mm]
> > 3. [mm][T_k;T_B][/mm]
> >
> > Dann gilt für die Wahrscheinlichkeiten:
> >
> > [mm]P\{t_A\in [0;T_k]\}=\bruch{T_k - 0}{1-0}=T_k[/mm]
> > Analog
> für
> > die anderen beiden Fälle.
>
> Dann wäre [mm]P(A)=T_k+T_k-T_B+T_B-T_k=T_k[/mm]
>
> hmm ..... aber was bedeutet das?
> und wie komme ich damit bei meiner Ausgangsfrage weiter?
>
> Ich habe ja schon geschrieben, dass ich [mm]P(A)=f(t_A)[/mm]
> bräuchte,
> um das Maximum zu bestimmen.
Hallo,
du hast zwei Möglichkeiten:
1) Du widerlegst die Richtigkeit der Aussage, dass P(A) allein von [mm] T_k [/mm] abhängt.
2) Du akzeptierst die Richtigkeit und findest dich damit ab, dass dass P(A) nicht durch die Wahl eines geeigneten Zeitpunkts beeinflussbar ist.
Zu Testzwecken könntest du auch folgendes tun:
a) Betrachte doch den Sachverhalt mal aus Sicht von B. Kann B durch geeignete Wahl einen Vorteil gegenüber A erhalten?
b) Simuliere den Vorgang (Excel reicht). (Ich würde der Reihe nach für [mm] t_A=0, [/mm] t_=1/3, [mm] t_A=0,5, t_A=2/3 [/mm] und [mm] t_A=1 [/mm] je 1000 mal die Werte von [mm] t_k [/mm] und [mm] t_B [/mm] als Zufallszahlen berechnen lassen und mit gestaffelten =Wenn()-Formeln auswerten, wer die Ausschreibung gewinnt.
Viele Grüße
Abakus
>
> Viele Grüße,
> Andi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Do 27.03.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Andi,
Ich unterstelle Unabhaengigkeit von [mm] $T_B$ [/mm] und [mm] $T_k$.
[/mm]
Die Faelle 2 und 3 kann man m.E. schnell abhandeln, denn es ist
beispielsweise
[mm] $P(T_B
(ich weiss, ich habe schon einmal mit der Unabhaengigkeit kraeftig ins
Klo gegriffen...  )
Dieselbe Wsk erhaelt man fuer [mm] $P(T_k
identisch verteilt sind.
Nun zu Fall 1: Die gemeinsame Dichte von [mm] $(T_k,T_B)$ [/mm] ist ein Wuerfel der
Hoehe 1 ueber dem dem Quadrat [mm] $(0,1)\times(0,1)$ [/mm] im [mm] $\IR^2$. [/mm] Suche in
[mm] $(0,1)\times(0,1)$ [/mm] die Menge aller [mm] $(t_k,t_B)$, [/mm] die [mm] $(t_A
erfuellen. Meine Zeichnung zeigt ein Dreieck mit Flaeche 1/2, bei dem die
linke Ecke bei
[mm] $t_A$ [/mm] angefressen ist. Es fehlt ein Dreieck mit Grundseite und
Hoehe [mm] $t_A$. [/mm] Dessen Flaeche ist [mm] $t_A^2/2$, [/mm] so dass das Volumen ueber der
Flaeche, also die Wsk [mm] $P(t_A
Alles wieder einmal etwas hingeschludert, aber vielleicht ist's ja ein
Knochen, an dem du nagen kannst. Wuerde mich ueber eine
weitere Loesungsskizze freuen.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo,
ich habe mir anhand von ähnlichen Aufgabe folgenden Lösungsweg zusammengebastelt und hätte gerne von euch ein paar qualifizierte Meinungen.
[mm]P(A)=P(t_A
[mm]P(t_A
wobei ich mit
[mm] \integral_{T_k}^{1}{1 dT_B} [/mm] die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass [mm] T_B \in ]T_k;1] [/mm] ist.
und mit [mm] \integral_{t_A}^{1}{(1-T_k)dT_k} [/mm] die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass [mm] T_k \in ]t_A;1] [/mm] ist.
Damit ergibt sich dann:
[mm]P(A)=\integral_{t_A}^{1}\integral_{T_k}^{1}{1 dT_BdT_k}+\integral_{0}^{t_A}\integral_{t_A}^{1}{1 dT_kdT_B}+\integral_{0}^{t_A}\integral_{t_A}^{1}{1 dT_BdT_k}=\bruch{1}{2}+t_A-\bruch{3}{2}t_A^2[/mm]
Kommt ihr auf die selben Ergebnisse?
Ist mein "intuitiver" Lösungsweg richtig?
Wenn ja, kennt jemand die passenden Sätze oder kann mir
vielleicht jemand erklären warum er richtig ist?
Viele Grüße,
Andi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Fr 28.03.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Andi,
habe deine Loesung auch. Meine erste Loesung war fast richtig, habe
aber irrtuemlicherweise die Flaeche unterhalb der schraffierten als
[mm] $P(t_a
vg Luis
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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