Gleichungssystem lösen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 So 02.06.2013 | | Autor: | jackyooo |
Hallo,
ich möchte folgendes Gleichungssystem lösen:
I: [mm] $$6x+6=\lambda [/mm] (2x+2)$$
II: [mm] $$12y-24=\lambda [/mm] (2y-4)$$
III: [mm] $$(x+1)^2+(y-2)^2-9=0$$
[/mm]
Wie kann ich das machen? Ich hab die Gleichungen einmal zusammengeschrieben, weil ich dachte, dass mir das weiterhilft und komme auf folgenden Term:
[mm] $$x^2+4x+y^2-5y-2-xy=0$$
[/mm]
Jedoch finde ich so auch keine Lösungen. Wenn ich diesen Therm so in Wolframalpha reintue, gibt er mir die 5 Lösungen, aber wie komme ich da algebraisch drauf?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 So 02.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
>
> ich möchte folgendes Gleichungssystem lösen:
>
> I: [mm]6x+6=\lambda (2x+2)[/mm]
> II: [mm]12y-24=\lambda (2y-4)[/mm]
> III:
> [mm](x+1)^2+(y-2)^2-9=0[/mm]
>
> Wie kann ich das machen? Ich hab die Gleichungen einmal
> zusammengeschrieben, weil ich dachte, dass mir das
> weiterhilft und komme auf folgenden Term:
> [mm]x^2+4x+y^2-5y-2-xy=0[/mm]
> Jedoch finde ich so auch keine Lösungen. Wenn ich diesen
> Therm so in Wolframalpha reintue, gibt er mir die 5
> Lösungen, aber wie komme ich da algebraisch drauf?
Setze Gleichung 1 und zwei über [mm] \lambda [/mm] gleich, aus dieser Gleichung bekommst du dann einen Zusammenhang zwischen x und y. Setze diesen in der dritten Gleichung ein, dann hast du eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten (x oder y).
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 So 02.06.2013 | | Autor: | jackyooo |
Das hab ich schon gemacht. Ich kam dann jedoch über [mm] $$\frac{6x+x}{2x+2}=\frac{12y-24}{2y-4}$$ [/mm] auf $$0=xy+y-2x-2$$ Das hab ich dann aus ratlosigkeit mit III (nach 0 umgestellt) gleichgesetzt). Wie kann ich die erste Gleichung nach x bzw. y umstellen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 So 02.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Das hab ich schon gemacht. Ich kam dann jedoch über
> $ [mm] \frac{6x+x}{2x+2}=\frac{12y-24}{2y-4} [/mm] $ auf [mm]0=xy+y-2x-2[/mm] Das
> hab ich dann aus ratlosigkeit mit III (nach 0 umgestellt)
> gleichgesetzt). Wie kann ich die erste Gleichung nach x
> bzw. y umstellen?
Es gilt doch:
$ [mm] \frac{6x+x}{2x+2}=\frac{12y-24}{2y-4} [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow\frac{7x}{2x+2}=\frac{12(y-2)}{2(y-2)} [/mm] $
Kürze nun rechts, betrachte den Fall y=2 gesondert.
Falls [mm] y\ne2 [/mm] ist, gilt:
[mm] \frac{7x}{2x+2}=\frac{12(y-2)}{2(y-2)}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow\frac{7x}{2x+2}=6
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow7x=6\cdot(2x+2)
[/mm]
Auch den Fall x=-1 solltest du allerdings gesondert betrachten, da für x=-1 der Nenner 2x+2 zu Null wird.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 So 02.06.2013 | | Autor: | jackyooo |
Ich seh gerade, ich hatte einen Tippfehler, beim Bruch war es $6x+6$ anstatt $6x+x$. Die Antwort von Abaskus hat mich zu einer Lösung geführt, danke trotzdem für die Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 So 02.06.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> ich möchte folgendes Gleichungssystem lösen:
>
> I: [mm]6x+6=\lambda (2x+2)[/mm]
Also gilt entweder
[mm] $\lambda$=3 [/mm] und x ist beliebig
oder
x=-1 und [mm] $\lambda$ [/mm] ist beliebig.
> II: [mm]12y-24=\lambda (2y-4)[/mm]
Also gilt entweder
[mm] $\lambda$=6 [/mm] und y ist beliebig
oder
y=2 und [mm] $\lambda$ [/mm] ist beliebig.
Daraus ergeben sich 3 mögliche Fälle:
Fall 1:
[mm] $\lambda$ [/mm] ist tatsächlich 3, dann ist es nicht 6, also muss y zwingend 2 sein.
Fall 2:
[mm] $\lambda$ [/mm] ist tatsächlich 6, dann ist es nicht 3, also muss x zwingend -1 sein.
Fall 3:
[mm] $\lambda$ [/mm] ist weder 3 noch 6, also muss x zwingend -1 und y zwingend 2 sein.
Untersuche für jeden der drei Fälle die Lösungen von III.
Gruß Abakus
> III:
> [mm](x+1)^2+(y-2)^2-9=0[/mm]
>
> Wie kann ich das machen? Ich hab die Gleichungen einmal
> zusammengeschrieben, weil ich dachte, dass mir das
> weiterhilft und komme auf folgenden Term:
> [mm]x^2+4x+y^2-5y-2-xy=0[/mm]
> Jedoch finde ich so auch keine Lösungen. Wenn ich diesen
> Therm so in Wolframalpha reintue, gibt er mir die 5
> Lösungen, aber wie komme ich da algebraisch drauf?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:58 So 02.06.2013 | | Autor: | jackyooo |
Die Antwort war super, hab jetzt 4 stellen und deren Funktionswerte ausgerechnet.
Bei der Aufgabe ging es eigentlich darum, globale Extrema einer Funktion in einer Menge zu berechnen. Ich habe jetzt jedoch 2x gleiche Werte.
$g(-1,-1)=g(-1,5)=51$ sowie $g(2,2)=g(-4,2)=24$. Habe ich also zwei globale Maxima und 2 globale Minima, oder habe ich keins von beiden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 So 02.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Antwort war super, hab jetzt 4 stellen und deren
> Funktionswerte ausgerechnet.
>
> Bei der Aufgabe ging es eigentlich darum, globale Extrema
> einer Funktion in einer Menge zu berechnen. Ich habe jetzt
> jedoch 2x gleiche Werte.
> [mm]g(-1,-1)=g(-1,5)=51[/mm] sowie [mm]g(2,2)=g(-4,2)=24[/mm]. Habe ich also
> zwei globale Maxima und 2 globale Minima, oder habe ich
> keins von beiden?
dann schreib' doch mal die ganze Funktion hin - wie sollen wir so wissen,
um was es geht? Soweit ich es sehe hast Du ja bisher auch nur die
potentiellen Extremstellen (Kandidaten für Extremstellen), also die kritischen
Stellen, berechnet...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:36 So 02.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Abakus,
> > Hallo,
> >
> > ich möchte folgendes Gleichungssystem lösen:
> >
> > I: [mm]6x+6=\lambda (2x+2)[/mm]
> Also gilt entweder
> [mm]\lambda[/mm]=3 und x ist beliebig
> oder
> x=-1 und [mm]\lambda[/mm] ist beliebig.
bei Deinen Überlegungen wie hier etwa würde ich noch zuvor umschreiben
[mm] $$x(3-\lambda)=-(3-\lambda)\,.$$
[/mm]
Für mich ist so jedenfalls klarer, was Du Dir da überlegt hast!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:01 So 02.06.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo Abakus,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > ich möchte folgendes Gleichungssystem lösen:
> > >
> > > I: [mm]6x+6=\lambda (2x+2)[/mm]
> > Also gilt entweder
> > [mm]\lambda[/mm]=3 und x ist beliebig
> > oder
> > x=-1 und [mm]\lambda[/mm] ist beliebig.
>
> bei Deinen Überlegungen wie hier etwa würde ich noch
> zuvor umschreiben
> [mm]x(3-\lambda)=-(3-\lambda)\,.[/mm]
>
> Für mich ist so jedenfalls klarer, was Du Dir da überlegt
> hast!
Wieso klarer?
6x+6 ist (deutlich erkennbar?) das Dreifache von 2x+2, also muss im allgemeinen [mm] $\lambda=3$ [/mm] gelten. Sonderfall: [mm] $\lambda=0$.
[/mm]
Gruß Abakus
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 So 02.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Abakus,
> > Hallo Abakus,
> >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > ich möchte folgendes Gleichungssystem lösen:
> > > >
> > > > I: [mm]6x+6=\lambda (2x+2)[/mm]
> > > Also gilt entweder
> > > [mm]\lambda[/mm]=3 und x ist beliebig
> > > oder
> > > x=-1 und [mm]\lambda[/mm] ist beliebig.
> >
> > bei Deinen Überlegungen wie hier etwa würde ich noch
> > zuvor umschreiben
> > [mm]x(3-\lambda)=-(3-\lambda)\,.[/mm]
> >
> > Für mich ist so jedenfalls klarer, was Du Dir da
> überlegt
> > hast!
> Wieso klarer?
weil ich so sehe: Ist [mm] $\lambda=3\,,$ [/mm] so geht für jedes [mm] $x\,$ [/mm] die Gleichung äquivalent
in [mm] $0=0\,$ [/mm] über. Ist [mm] $\lambda \not=3\,,$ [/mm] so ist die Gleichung äquivalent zu [mm] $x=-1\,.$
[/mm]
> 6x+6 ist (deutlich erkennbar?) das Dreifache von 2x+2,
> also muss im allgemeinen [mm]\lambda=3[/mm] gelten. Sonderfall:
> [mm]\lambda=0[/mm].
Dagegen sage ich ja auch nichts. Aber auch, wenn Du das so meinst, sehe
ich es deutlicher, wenn man etwas weiter rechnet:
[mm] $$6x+6=\lambda*(2x+2)$$
[/mm]
[mm] $$\iff 3*(2x+2)=\lambda*(2x+2)$$
[/mm]
[mm] $$\iff 3*(x+1)=\lambda*(x+1)\,.$$
[/mm]
Ist auch nichts gegen Deinen "guten schnellen Blick" und auch keine Kritik
an Dir, ich will nur, dass es auch andere direkt bzw. schnell sehen, ohne
lange überlegen zu müssen.
Gruß,
Marcel
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