Gleichungssystem lösen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Sa 13.02.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Lösen Sie folgendes Gleichungssystem
[mm] x_{3}-x_{4}+x_{5}= [/mm] -2
[mm] x_{1}+2x_{2}+2x_{4}=9
[/mm]
[mm] -x_{1}-2x_{2}+x_{3}-3x_{4}-3x_{5}=-7
[/mm]
[mm] 2x_{3}-2x_{4}+2x_{5}=\lambda [/mm] |
Hallo zusammen,
soll das wieder mit dem Gaußalgorithmus lösen:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & -1 & 1|-2 \\ 1 & 2 & 0 & 2 & 0|9 \\ -1 & -2 & 1 & -3 & 3 |-7 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 2|\lambda }
[/mm]
mittels versch. Umformungen kommt man dann auf:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 & 2|9 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0|-4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 |2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0|\lambda +4 }
[/mm]
Das Lösungssystem dees Systems A'x=b' ist
[mm] \vektor{9 \\ -4 \\ 2 \\ 0 \\ 0} [/mm] + < [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}> [/mm]
wie ich auf [mm] \vektor{9 \\ -4 \\ 2 \\ 0 \\ 0} [/mm] komme weiß ich jetzt aber mir ist noch unklar, wie ich auf < [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}> [/mm] komme....was muss ich hier denn genau rechnen?
danke
|
|
| |
|
Hallo Peter,
> Lösen Sie folgendes Gleichungssystem
>
> [mm]x_{3}-x_{4}+x_{5}=[/mm] -2
> [mm]x_{1}+2x_{2}+2x_{4}=9[/mm]
> [mm]-x_{1}-2x_{2}+x_{3}-3x_{4}-3x_{5}=-7[/mm]
> [mm]2x_{3}-2x_{4}+2x_{5}=\lambda[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> soll das wieder mit dem Gaußalgorithmus lösen:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 & -1 & 1|-2 \\ 1 & 2 & 0 & 2 & 0|9 \\ -1 & -2 & 1 & -3 & 3 |-7 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 2|\lambda }[/mm]
>
> mittels versch. Umformungen kommt man dann auf:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 & 2|9 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0|-4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 |2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0|\lambda +4 }[/mm]
>
> Das Lösungssystem dees Systems A'x=b' ist
>
> [mm]\vektor{9 \\ -4 \\ 2 \\ 0 \\ 0}[/mm] + < [mm]\vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{-2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}>[/mm]
>
> wie ich auf [mm]\vektor{9 \\ -4 \\ 2 \\ 0 \\ 0}[/mm] komme weiß ich
> jetzt aber mir ist noch unklar, wie ich auf < [mm]\vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{-2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}>[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
komme....was muss ich
> hier denn genau rechnen?
Nun, zunächst gibt's nur für $\lambda=-4$ überhaupt eine Lösung.
Dann hast du mit der ZSF oben 2 frei wählbare Parameter.
Hier wurde $x_4=s, x_5=t$ mit $s,t\in\IR$ gewählt.
Wenn du damit durch Rückwärtseinsetzen die Lösungen für $x_1, x_2, x_3$ berechnest, kommst du auf
$\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}=\vektor{9-2s-2t\\-4+s\\2\\s\\t}$
Und das kannst du schreiben als $\vektor{9-2s-2t\\-4+s\\2\\s\\t}=\vektor{9\\-4\\2\\0\\0}+s\cdot{}\vektor{-2\\1\\0\\1\\0}+t\cdot{}\vektor{-2\\0\\0\\0\\1}$
Also ist die Lösungmenge der affine Unterraum:
$\vektor{9\\-4\\2\\0\\0} \ + \ \left\langle{\vektor{-2\\1\\0\\1\\0}, \vektor{-2\\0\\0\\0\\1}\right\rangle$
>
> danke
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
