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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:39 Mo 18.01.2010 | | Autor: | brocky12 |
| Aufgabe | Für welche [mm] \alpha \in \IR [/mm] existiert genau eine/ unendlich/ keine Lösung?
[mm] 2*x+\alpha*y=1
[/mm]
a*x+2*y=a+1 |
Hallo,
Mir fehlt bei dieser Aufgabe der Ansatz.
Ich weiß nicht, wie ich die Matrix für das Gleichungssystem aufstellen muss.
Eigentlich müsste sie wie folgt lauten:
[mm] \pmat{ 2 & \alpha \\ a & 2 }
[/mm]
oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Für welche [mm]\alpha \in \IR[/mm] existiert genau eine/ unendlich/
> keine Lösung?
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> [mm]2*x+\alpha*y=1[/mm]
> a*x+2*y=a+1
> Hallo,
> Mir fehlt bei dieser Aufgabe der Ansatz.
> Ich weiß nicht, wie ich die Matrix für das
> Gleichungssystem aufstellen muss.
> Eigentlich müsste sie wie folgt lauten:
>
> [mm]\pmat{ 2 & \alpha \\ a & 2 }[/mm]
>
> oder?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Das ist die Koeffizientenmatrix des homogenen Systems.
Bei inhomogenen Gleichungssystemem stellt man gleich die erweiterte Koeffizientenmatrix auf.
[mm] \pmat{ 2 & \alpha&|1 \\ a & 2&a+1 }.
[/mm]
Der Rang dieser Matrix ist un zu untersuchen.
In Deinem Skript/Mitschrift findest Du bestimmt etwas, was Dir etwas erzählt über den Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix und die Lösbarkeit des Systems.
Gruß v. Angela
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:41 Mo 18.01.2010 | | Autor: | brocky12 |
Also lautet die Matrix nicht
[mm] \pmat{ 2 & \alpha&|1 \\ a & 2&|a+1 }
[/mm]
sondern
[mm] \pmat{ 2 & \alpha&|1 \\ a & 2&a+1 } [/mm] ?
So richtig weiß ich immer noch nicht, wie ich das ganze zu lösen habe.
Kannst Du vielleicht den Rechenweg für eine Aufgabe hier zeigen?
Ich wäre Dir echt dankbar... 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:48 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Leipziger |
Nein, das [mm] \pmat{ 2 & \alpha&|1 \\ a & 2&|a+1 } [/mm] stimmt soweit schon, ich denke da hatte Angela nur was vergessen.
Aber wie sie schon gesagt hat, Rang bestimmen, das bedeutet für dich eigentlich nur Gauß anwenden. Damit kannste deine [mm] \alpha [/mm] 's dann bestimmen.
Gruß Leipziger
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Mo 18.01.2010 | | Autor: | brocky12 |
Folgende Rechenschritte habe ich nun unternommen:
Wenn ich die Determinante ausrechne, bekomme ich als Ergbebnis [mm] 4-\alpha*a [/mm] raus.
Nach [mm] \alpha [/mm] aufgelöst erhalte ich [mm] \alpha=\bruch{4}{a}.
[/mm]
Also gibt es für [mm] \alpha=\bruch{4}{a} [/mm] genau eine Lösung.(?)
Für den Rang der Matrix habe ich raus: Rang 1.
Wie gehe ich mit der Erkenntnis jetzt weiter vor?
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[mm] \pmat{ 2 & b&|1 \\ a & 2&|a+1 }
[/mm]
> Folgende Rechenschritte habe ich nun unternommen:
> Wenn ich die Determinante ausrechne, bekomme ich als
> Ergbebnis [mm]4-\alpha*a[/mm] raus.
> Nach [mm]\alpha[/mm] aufgelöst erhalte ich [mm]\alpha=\bruch{4}{a}.[/mm]
>
> Also gibt es für [mm]\alpha=\bruch{4}{a}[/mm] genau eine
> Lösung.(?)
>
> Für den Rang der Matrix habe ich raus: Rang 1.
> Wie gehe ich mit der Erkenntnis jetzt weiter vor?
Hallo,
stell Rückfragen immer als Fragen (roter Kasten) und nicht als Mitteilung.
So werden sie dann von allen registriert, und Du bekommst schneller Hilfe.
Ja, wir können den Rang der Koeffizientenmatrix untersuchen.
Dabei gilt: ist die Det. [mm] \not=0, [/mm] so hat sie vollen Rang. (invertierbare Matrix)
Dies ist der Fall für [mm] 4-ab\not=0, [/mm] also für [mm] ab\not=4
[/mm]
Es ist in diesem Fall der Rang der Koeffizientenmatrix= dem der erweiterten Matrix, das System ist also lösbar.
Wegen Rang=2 hat der Kern die Dimension 0, das System hat also genau eine Lösung.
2: Fall:
Für ab=4 <==> [mm] b=\bruch{4}{a} [/mm] ist die Det =0, hat also einen Rang, der kleiner als 2 ist.
Wir bekommen
[mm] \pmat{ 2 & \bruch{4}{a} &|1 \\ a & 2&|a+1 }
[/mm]
--> [mm] \pmat{ 2 a&4 &|a \\ 2a & 4&|2a+2 }
[/mm]
--> [mm] \pmat{ 2 a& 4 &|a \\ 0& 0&|a+2 }
[/mm]
Hier muß man nun zunächst Lösbarkeitsüberlegungen anstellen.
Wann ist das System überhaupt nur lösbar?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Di 19.01.2010 | | Autor: | brocky12 |
| Aufgabe | | Für welches [mm] \alpha [/mm] existiert unendlich viele Lösungen? |
Ich benenne das [mm] \alpha [/mm] in der Aufgabe auch mal als b, um es ein bischen übersichtlicher zu haben.
Also habe ich das bisher richtig verstaden, das es für mein b [mm] \not=\bruch{4}{a} [/mm] genau EINE LÖSUNG gibt?
Und, da der Rang der Koeffizientenmatrix [mm] \not= [/mm] der erweiterten Matrix ist, kann ich schon mal sagen, dass es für [mm] b=\bruch{4}{a} [/mm] KEINE LÖSUNG gibt.
Doch wie kann ich jetzt unendlich viele Lösungen für mein b bestimmen?
Dafür müsste der Rang der Koeffizientenmatrix = dem Rang der erweiterten Matrix sein oder?
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> Für welches [mm]\alpha[/mm] existiert unendlich viele Lösungen?
> Ich benenne das [mm]\alpha[/mm] in der Aufgabe auch mal als b, um
> es ein bischen übersichtlicher zu haben.
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> Also habe ich das bisher richtig verstaden, das es für
> mein b [mm]\not=\bruch{4}{a}[/mm] genau EINE LÖSUNG gibt?
Hallo,
wir sagen mal lieber "für [mm] ab\not=4", [/mm] dann müssen wir nämlich nicht über die 0 philosophieren.
>
> Und, da der Rang der Koeffizientenmatrix [mm]\not=[/mm] der
> erweiterten Matrix ist, kann ich schon mal sagen, dass es
> für [mm]b=\bruch{4}{a}[/mm] KEINE LÖSUNG gibt.
Das verstehe ich jetzt nicht.
Für b=4/a hatten wir doch als ZSF
--> $ [mm] \pmat{ 2 a& 4 &|a \\ 0& 0&|a+2 } [/mm] $
Da ist ja kein b mehr zu sehen.
Du mußt über a nachdenken.
Für welches a sind die Ränge der Koeffizientenmatrix und der erweiterten Matrix gleich, für welche verschieden?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Di 19.01.2010 | | Autor: | brocky12 |
Für a=-2 wäre der Rang beider Matrizen gleich und für a=0 verschieden.
Aber die Aufgabenstellung lautet ja für welches b genau eine/unendlich/keine Lösung exisitiert?
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> Für a=-2 wäre der Rang beider Matrizen gleich
Hallo,
ja.
Und deshalb wissen wir: lösbar.
Und weil die Koeffizientenmatrix nicht vollen Rang hat, wissen wir, daß der Lösungsraum des zugehörigen homogenen Systems eine dimension [mm] \ge [/mm] 1 hat.
Somit hat das inhomogene System ebenfalls unendlich viele Lösungen.
> und für
> a=0 verschieden.
Da gibt es ja noch ein paar mehr a, für die die Ränge nicht übereinstimmen - es also keine Lösung gibt.
> Aber die Aufgabenstellung lautet ja für welches b genau
> eine/unendlich/keine Lösung exisitiert?
Wenn ab=4 und zusätzlich a=-2 (also b=-2) dann gibt's unendlich viele Lösungen,
wenn ab=4 und [mm] a\not=-2, [/mm] also [mm] b\not=-2, [/mm] dann gibt's ???
Und wenn [mm] ab\not=4, [/mm] dann gibt's genau eine Lösung.
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Ich glaube übrigens, daß in Deiner Aufgabe überall a bzw. [mm] \alpha [/mm] stehen sollte. Vielleicht fragst Du bei Deinen Chefs nochmal nach.
Denn wenn die Aufgabe so ist, wie sie dasteht, würde man ja fragen: "Für welche [mm] \alpha, [/mm] a gibt es ..."
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:57 Di 19.01.2010 | | Autor: | brocky12 |
Die Aufgabe lautet so, wie ich sie in der ersten Frage formuliert habe, also mit [mm] \alpha [/mm] und a.
Vielen Dank für die Hilfe, ich denke so langsam kriege ich den Dreh.
Beste Grüße
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