Gleichungssystem für beste Ap < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Mo 13.04.2009 | | Autor: | ownshake |
| Aufgabe | Sei C0([0,1], ℝ) der Euklidische Vektorraum aller stetigen Funktionen auf dem Intervall [0,1] mit dem Skalarprodukt
σ (f(x), g(x)) := [mm] \integral_{1}^{0}{f(x)*g(x)dx}
[/mm]
1) Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der besten Approximation für
y= [mm] f(x):=\wurzel{x} [/mm] im Unterraum U:= < 1, x > aller Geraden auf.
2) Berechnen Sie die beste Approximation f(x)* in U. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Guten Abend,
so nu sitz ich vor dieser Aufgabe, aber habe irgendwie keine Ahnung wie soetwas zu lösen ist. Auch im Internet bin ich nicht schlau geworden.
Daher ist das hier nun meine letzte Hoffnung.
Ich hab keine Ahnung wie ein solches Gleichungssystem auszusehen hat.
Ansich würde ich jetzt gerne, noch irgendetwas schreiben, damit man denkt ich hätte wenigstens überhaupt ne Ahnung, aber ich steh da echt aufm Schlauch.
Über Hilfe würde ich mich freuen.
Liebe Grüße ownshake
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Di 14.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Für die Bestapproximation f* in U gilt doch
1. f*(x) = ax+b
und
2. (f-f*) [mm] \perp [/mm] U
also
[mm] \integral_{0}^{1}{(\wurzel{x} -(ax+b))dx} [/mm] = 0
und
[mm] \integral_{0}^{1}{(\wurzel{x} -(ax+b))xdx} [/mm] = 0
Daraus kannst Du a und b bestimmen
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Di 14.04.2009 | | Autor: | ownshake |
Hallo nochmal und danke fürs Antworten,
aber wie erstell ich jetzt das Gleichungssystem?
Am liebsten wäre mir einmal eine Beispielrechnung...weil ich mit der Aufgabe nichts anfangen kann.
Liebe Grüße
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Hallo ownshake,
> Hallo nochmal und danke fürs Antworten,
> aber wie erstell ich jetzt das Gleichungssystem?
Nach diesem Artikel gilt dann:
[mm]\integral_{0}^{1}{\wurzel{x} \ dx} = a*\integral_{0}^{1}{x \ dx}+b*\integral_{0}^{1}{1 \ dx}[/mm]
[mm]\integral_{0}^{1}{\wurzel{x}*x \ dx} = a*\integral_{0}^{1}{x*x \ dx}+b*\integral_{0}^{1}{1*x \ dx}[/mm]
> Am liebsten wäre mir einmal eine Beispielrechnung...weil
> ich mit der Aufgabe nichts anfangen kann.
Beispiel:
Es ist die beste Approximation der Funktion [mm]f\left(x\right):=e^{x}[/mm]
im Intervall [mm]\left[-\bruch{1}{2}, \ \bruch{1}{2}\right][/mm] im Unterraum aller Geraden zu bestimmen.
Dann gibt es folgende Bestimmungsgleichungen:
[mm]\integral_{-\bruch{1}{2}}^{\bruch{1}{2}}{e^{x} \ dx} = a*\integral_{-\bruch{1}{2}}^{\bruch{1}{2}}{x \ dx}+b*\integral_{-\bruch{1}{2}}^{\bruch{1}{2}}{1 \ dx}[/mm]
[mm]\integral_{-\bruch{1}{2}}^{\bruch{1}{2}}{e^{x}*x \ dx} = a*\integral_{-\bruch{1}{2}}^{\bruch{1}{2}}{x*x \ dx}+b*\integral_{-\bruch{1}{2}}^{\bruch{1}{2}}{1*x \ dx}[/mm]
Dies führt auf das Gleichungssystem:
[mm]\pmat{1 & 0 \\ 0 & \bruch{1}{12}}*\pmat{b \\ a}=\pmat{\integral_{-\bruch{1}{2}}^{\bruch{1}{2}}{e^{x} \ dx} \\ \integral_{-\bruch{1}{2}}^{\bruch{1}{2}}{e^{x}*x \ dx}}=\pmat{2*\sinh\left(\bruch{1}{2}\right) \\ \cosh\left(\bruch{1}{2}\right)-2\sinh\left(\bruch{1}{2}\right)}[/mm]
Die im Mittel beste Approximation von [mm]e^{x}[/mm] auf [mm]\left[-\bruch{1}{2}, \ \bruch{1}{2}\right][/mm] ist die Funktion
[mm]ax+b=\left(12*\cosh\left(\bruch{1}{2}\right)-24*\sinh\left(\bruch{1}{2}\right)\right)*x+2*\sinh\left(\bruch{1}{2}\right)[/mm]
> Liebe Grüße
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Inverse |
Hallo MathePower,
auch von mir danke für deinen Lösungsweg.
Ich hab jetzt allerdings noch zwei Fragen, bei meiner Aufgabenstellung habe ich die Bestimmungsgleichungen schnell und einfach aufstellen können, nun hapert es aber an der Umsetzung zum Gleichungssystem, bzw. der Matrix.
Wie wird denn da auf die gesuchten Variablen a und b umgestellt? Und wird die Matrix dann ähnlich wie eine Transformationsmatrix benutzt um auf die Funktion zu schließen? Oo
Bin ich einfach zu dämlich zu, brauchte schon gefühlte Jahre um Transformationsmatrizen zu verstehen.. -.-
Grüße,
Inverse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Mo 20.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Du bekommst ein lineares Gleichunssystem mit 2 Gleichungen für die 2 Unbekannten a und b. Schreib doch das mal hin.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Di 21.04.2009 | | Autor: | Inverse |
Hab einen anderen Ansatz verfolgt und das ganze per Normalgleichungen gelöst, damit konnte ich viel besser anfreunden, da man die Matrix nicht aufstellen musste und nur 2 Gleichungen hatte, die man gegeneinander auflösen musste.
Vielen Danke für die Hilfe trotzdem!
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