Gleichungssystem bei GPS < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Mo 20.02.2012 | | Autor: | Paul94 |
Hallo Forum,
ich muss für die Schule eine Arbeit über GPS anfertigen und habe mich bereits etwas über das Thema informiert. Auf ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia ist weit unten ein Rechenbeispiel, wie man das entstehende Gleichungssystem geschlossen lösen kann.
Wie man die drei gesuchten Koordinaten in Abhängigkeit von der Zeit berechnet, ist mir noch klar, das weitere Vorgehen ab Gleichung 16 ergibt sich mir nicht. Ich verstehe nicht, wie man auf die beiden folgenden Gleichungssysteme kommt (Gleichungen 16-18 und 19-21).
Könnt ihr mir da weiterhelfen?
Vielen Dank im Voraus,
Paul
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> Hallo Forum,
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> ich muss für die Schule eine Arbeit über GPS anfertigen
> und habe mich bereits etwas über das Thema informiert. Auf
> Wikipedia ist
> weit unten ein Rechenbeispiel, wie man das entstehende
> Gleichungssystem geschlossen lösen kann.
>
> Wie man die drei gesuchten Koordinaten in Abhängigkeit von
> der Zeit berechnet, ist mir noch klar, das weitere Vorgehen
> ab Gleichung 16 ergibt sich mir nicht. Ich verstehe nicht,
> wie man auf die beiden folgenden Gleichungssysteme kommt
> (Gleichungen 16-18 und 19-21).
>
> Könnt ihr mir da weiterhelfen?
>
> Vielen Dank im Voraus,
> Paul
Hallo Paul,
das Wichtigste steht in (15) und im Satz:
"Diese 3 Gleichungen müssen daher für die konstanten
Terme und die Vorfaktoren von t0 separat gelten. "
Wenn du nach dieser Idee etwa in der Gleichung (12)
die Substitutionen nach (15) vornimmst und die ent-
standene Gleichung dann in die Bestandteile ohne den
Faktor t0 und jene mit t0 aufteilst, so erhältst du
daraus die Gleichungen (16) und (19) !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Mo 20.02.2012 | | Autor: | Paul94 |
Erstmal danke für deine schnelle Antwort.
Ich sehe jetzt, wie die Gleichungen zustande kommen. Ich verstehe jedoch noch nicht ganz, wieso man daraus zwei Gleichungssysteme bilden kann. Warum müssen die Gleichungen laut Wikipedia für [mm] $x_{00}$ [/mm] und [mm] $x_{0t}$ [/mm] (usw.) separat gelten?
Paul
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> Erstmal danke für deine schnelle Antwort.
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> Ich sehe jetzt, wie die Gleichungen zustande kommen. Ich
> verstehe jedoch noch nicht ganz, wieso man daraus zwei
> Gleichungssysteme bilden kann. Warum müssen die
> Gleichungen laut Wikipedia für [mm]x_{00}[/mm] und [mm]x_{0t}[/mm] (usw.)
> separat gelten?
>
> Paul
Setz dich nochmals genau mit dem gesamten Text zwischen
(14) und (16) auseinander ! Die Idee ist schon einigermaßen
raffiniert.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Mo 20.02.2012 | | Autor: | Paul94 |
Ehrlich gesagt, verstehe ich es noch immer nicht. Die Formulierung lässt mich vermuten, dass es ist, weil [mm] $t_0$ [/mm] die einzige verbleibende unbekannte ist. Aber warum man aus der einen Gleichung mit 6 Unbekannten (plus [mm] $t_0$) [/mm] zwei mit jeweils drei machen kann, ist mir vollkommen schleierhaft.
Paul
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Mo 20.02.2012 | | Autor: | Denny22 |
Ich wiederhole gerade einmal kurz den Sachverhalt: Die letzten Gleichungen, die Du verstanden hast waren
[mm] $\begin{matrix}
2(x_1-x_4) x_0 + 2(y_1-y_4)y_0 + 2(z_1-z_4)z_0 =\\x_1^2-x_4^2 + y_1^2 - y_4^2 + z_1^2 - z_4^2 - (c^2 t_1^2 - c^2 t_4^2) + 2 c^2(t_1-t_4)t_0 \quad (12)\\ \\
2(x_2-x_4) x_0 + 2(y_2-y_4)y_0 + 2(z_2-z_4)z_0 =\\x_2^2-x_4^2 + y_2^2 - y_4^2 + z_2^2 - z_4^2 - (c^2 t_2^2 - c^2 t_4^2) + 2 c^2(t_2-t_4)t_0 \quad (13)\\ \\
2(x_3-x_4) x_0 + 2(y_3-y_4)y_0 + 2(z_3-z_4)z_0 =\\x_3^2-x_4^2 + y_3^2 - y_4^2 + z_3^2 - z_4^2 - (c^2 t_3^2 - c^2 t_4^2) + 2 c^2(t_3-t_4)t_0 \quad (14)\\
\end{matrix}$
[/mm]
Nun sollst Du in dieser 3 Gleichung [mm] $x_0$, $y_0$ [/mm] und [mm] $z_0$ [/mm] durch die folgenden Ausdrücke ersetzen:
[mm] $\begin{matrix}
x_0 = x_{00} + x_{0t} t_0& &y_0 = y_{00} + y_{0t} t_0& &z_0 = z_{00} + z_{0t} t_0 \qquad (15)\\
\end{matrix}$
[/mm]
Das Ziel sind dann die folgenden 6 Gleichungen:
[mm] $\begin{matrix}
2(x_1-x_4) x_{00} + 2(y_1-y_4)y_{00} + 2(z_1-z_4)z_{00} =\\x_1^2-x_4^2 + y_1^2 - y_4^2 + z_1^2 - z_4^2 - (c^2 t_1^2 - c^2 t_4^2) \qquad \qquad (16)\\ \\
2(x_2-x_4) x_{00} + 2(y_2-y_4)y_{00} + 2(z_2-z_4)z_{00} =\\x_2^2-x_4^2 + y_2^2 - y_4^2 + z_2^2 - z_4^2 - (c^2 t_2^2 - c^2 t_4^2) \qquad \qquad (17)\\ \\
2(x_3-x_4) x_{00} + 2(y_3-y_4)y_{00} + 2(z_3-z_4)z_{00} =\\x_3^2-x_4^2 + y_3^2 - y_4^2 + z_3^2 - z_4^2 - (c^2 t_3^2 - c^2 t_4^2) \qquad \qquad (18)\\
\\
2(x_1-x_4) x_{0t} + 2(y_1-y_4)y_{0t} + 2(z_1-z_4)z_{0t} = 2 c^2(t_1-t_4) \qquad (19)\\
2(x_2-x_4) x_{0t} + 2(y_2-y_4)y_{0t} + 2(z_2-z_4)z_{0t} = 2 c^2(t_2-t_4) \qquad (20)\\
2(x_3-x_4) x_{0t} + 2(y_3-y_4)y_{0t} + 2(z_3-z_4)z_{0t} = 2 c^2(t_3-t_4) \qquad (21)\\
\end{matrix}$
[/mm]
Die erhälst Du eigentlich sehr einfach. Wir demonstrieren dies exemplarisch an der Gleichung (12): Hier setzen wir die Ausdrücke aus (15) ein und erhalten (ich schreibe die Gleichung rückwärts!)
[mm] $x_1^2-x_4^2 [/mm] + [mm] y_1^2 [/mm] - [mm] y_4^2 [/mm] + [mm] z_1^2 [/mm] - [mm] z_4^2 [/mm] - [mm] (c^2 t_1^2 [/mm] - [mm] c^2 t_4^2) [/mm] + 2 [mm] c^2(t_1-t_4)t_0$
[/mm]
[mm] $=2(x_1-x_4) x_0 [/mm] + [mm] 2(y_1-y_4)y_0 [/mm] + [mm] 2(z_1-z_4)z_0$
[/mm]
[mm] $=2(x_1-x_4) x_{00} [/mm] + [mm] 2(y_1-y_4)y_{00} [/mm] + [mm] 2(z_1-z_4)z_{00}+2(x_1-x_4) x_{0t}t_0 [/mm] + [mm] 2(y_1-y_4)y_{0t}t_0 [/mm] + [mm] 2(z_1-z_4)z_{0t}t_0$
[/mm]
[mm] $=2(x_1-x_4) x_{00} [/mm] + [mm] 2(y_1-y_4)y_{00} [/mm] + [mm] 2(z_1-z_4)z_{00}+\left[2(x_1-x_4) x_{0t} + 2(y_1-y_4)y_{0t}+ 2(z_1-z_4)z_{0t}\right]t_0$
[/mm]
Nun setzen wir die [mm] $t_0$-Terme [/mm] gleich und den Rest ebenfalls, d.h. wir erhalten die zwei Gleichungen
[mm] $2(x_1-x_4) x_{00} [/mm] + [mm] 2(y_1-y_4)y_{00} [/mm] + [mm] 2(z_1-z_4)z_{00}=x_1^2-x_4^2 [/mm] + [mm] y_1^2 [/mm] - [mm] y_4^2 [/mm] + [mm] z_1^2 [/mm] - [mm] z_4^2 [/mm] - [mm] (c^2 t_1^2 [/mm] - [mm] c^2 t_4^2) [/mm] $
[mm] $\left[2(x_1-x_4) x_{0t} + 2(y_1-y_4)y_{0t}+ 2(z_1-z_4)z_{0t}\right]t_0=2 c^2(t_1-t_4)t_0$
[/mm]
Die erste Gleichung findest Du in (16). Die zweite Gleichung teilen wir auf beiden Seiten durch [mm] $t_0$ [/mm] und erhalten
[mm] $2(x_1-x_4) x_{0t} [/mm] + [mm] 2(y_1-y_4)y_{0t}+ 2(z_1-z_4)z_{0t}=2 c^2(t_1-t_4)$
[/mm]
Diese Gleichung findest Du in (19). D.h. aus der Gleichung (12) haben wir mittels (15) die Gleichungen (16) und (19) hergeleitet. Analog erhälst Du aus Gleichung (13) mittels (15) die Gleichungen (17) und (20). Und aus (14) mittels (15) die Gleichungen (18) und (21).
Der Grund dafür, dass wir zusätzliche Gleichungen benötigen, liegt darin, dass wir mehr Unbekannte als Gleichungen haben, d.h. unser Gleichungssystem ist unterbestimmt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Mo 20.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. setz die 3 Gl 15 in 12m 13,m 14 eun.
dann forme so un, dass da steht [mm] t_0*(...) [/mm] +Rest=0
dann müssen die 2 Teile einzeln 0 sein,
Rest =0 ergibt 16,17,18
(....)=0 ergibt 19,20,21
Gruss leduart
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