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| Aufgabe | Lösen sie - soweit möglich - das Gleichungssystem
2x1+4x2+2x3+8x4=18
2x1 +4x4=8
2x1+1x2+1x3+5x4=11 |
Wie löst man diese GL ? In "Stufenform" kann man sie ja nicht bringen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Mo 15.05.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
klar kann man es in Stufenform bringen - die Stufen sind unten nur ein wenig breiter : also in der letzten zeile 2 eintraege behalten und in jeder weiter oben einen eintrag mehr.
Dann kann man fast wie gewohnt von unten nach oben aufloesen: zuerst setzt du eine der verbleibenden Variablen auf beliebig, also sowas wie [mm] $x_4=t$ [/mm] und dann erhaelst du [mm] x_3 [/mm] in abhaengigkeit von t - eine Zeile hoeher dann [mm] x_2 [/mm] und so weiter.
zum schluss erhaelst du sowas wie : [mm] $\vektor{3t-5\\-2\\4t+1\\-2-t}$
[/mm]
dann ist deine allegemeine Loesungsmenge umgeformt also gerade der affine Raum :
[mm] $\vektor{-5\\-2\\1\\-2}+t*\vektor{3\\0\\4\\-1}$
[/mm]
versuchst du es mal?
viele Gruesse
DaMenge
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Hmm kann man nicht einfach die erste und zweite Zeile miteinander vertauschen und dann auflösen?
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 4 \\ 2 & 4 & 2 & 8\\ 2 & 1 & 1 & 5} \pmat{ 18\\ 8\\ 11 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & -4 & -2 & -4\\ 0 & -1 & -1 & -1} \pmat{ 18\\ 10\\ 7 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & -4 & -2 & -4\\ 0 & 0 & 2 & 0} \pmat{ 18\\ 10\\ -18 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & -4 & 0 & -4\\ 0 & 0 & 2 & 0} \pmat{ 18\\ -8\\ -18 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0} \pmat{ 9\\ 2\\ -9 }
[/mm]
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Hallo,
ja so kannst du es auch machen. Hast aber ein paar Rechenfehler drin, deshalb ist deine Lösung auch nich ganz richtig. Beachte auch, dass du nachdem du es auf Zeilenstufenform gebracht hast auf eine 4x4-Matrix ergänzen musst, und dann auf der Diagonalen eine -1.
Grüße Steffen
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Hmm kann mir jemand helfen, ich find den Fehler irgendwie nicht?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Mo 15.05.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
ich finde auch keinen Fehler - aber das heißt ja nichts...
Aber viel wichtiger : ich finde auch keine Lösung !!
Du hast es doch jetzt schön umgeformt - wo ist die Lösungsmenge?
Wenn du von unten nach oben auflöst/einsetzt erhälst du was?
In der mittleren Zeile wirst du genau das haben, was ich schon am Anfang geschrieben habe : du setzt eine der beiden Variablen beliebig und gibst danach alles in Abhängigkeit davon an...
@Steffen : was hat es denn mit dieser -1 auf sich? ich denke ehrlich gesagt nicht, dass es sinnvoll ist den Rang zu erhöhen nur damit man nettere Ergebnisse bekommt - oder missverstehe ich deinen Ansatz gerade?
viele Grüße
DaMenge
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Hmm hab noch bissel rumgesucht und versuchs mal:
x1+2 [mm] \lambda=9
[/mm]
[mm] x1=9-2\lambda
[/mm]
[mm] x2+\lambda=2
[/mm]
[mm] x2=2-\lambda
[/mm]
x3=-9
[mm] x4=\lambda
[/mm]
D.h.
[mm] \pmat{ x1\\ x2\\ x3\\ x4 }= \pmat{ 9\\ 2\\ -9\\ 0 }+ \lambda \pmat{ -2\\ -1\\ 0\\ 1 }
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Mo 15.05.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Alexchill,
deine Überlegungen sind zwar richtig, aber dir ist ein Flüchtigkeitsfehler unterlaufen.
Dein Gleichungssystem lautet:
2x1+4x2+2x3+8x4=18
2x1 +4x4=8
2x1+1x2+1x3+5x4=11
Deine Lösung:
Hmm kann man nicht einfach die erste und zweite Zeile miteinander vertauschen und dann auflösen?
$ [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 4 \\ 2 & 4 & 2 & 8\\ 2 & 1 & 1 & 5} \pmat{ 18\\ 8\\ 11 } [/mm] $
Du hast beim Vertauschen die rechten Seiten vergessen.
$ [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 4 \\ 2 & 4 & 2 & 8\\ 2 & 1 & 1 & 5} \pmat{ 8 \\ 18 \\ 11 } [/mm] $
Gruß
Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Mo 15.05.2006 | | Autor: | alexchill |
Jo stimmt, aber wenn der Rest ok ist, geb ich mich damit zufrieden :). Danke bei jedem der mir geholfen hat!
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