Gleichungen x^6 mod 7 lösen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Löse die Gleichungen modulo 7:
a) [mm] x^{2} [/mm] = 1
b) [mm] x^{6} [/mm] = 1
c) 3x+5 = 1 |
HI,
ich hab leider kein Ahnung wie ich solche Gleichungen lösen soll, finde in meinem Skriptum und im Internet keine Ansätze die mir weiterhelfen könnten.
Wäre froh über einen oder einige Tipp(s).
lg tom
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> Löse die Gleichungen modulo 7:
> a) [mm]x^{2}[/mm] = 1
> b) [mm]x^{6}[/mm] = 1
> c) 3x+5 = 1
> HI,
>
> ich hab leider kein Ahnung wie ich solche Gleichungen lösen
> soll, finde in meinem Skriptum und im Internet keine
> Ansätze die mir weiterhelfen könnten.
> Wäre froh über einen oder einige Tipp(s).
> lg tom
Hi tom,
Da 7 eine Primzahl ist, kann man modulo 7 prima rechnen.
Alle 4 Grundoperationen ( +, - , * , / ) sind eindeutig definiert
und damit auch Potenzen wie [mm] x^2 [/mm] oder [mm] x^6 [/mm] .
Ich nehme andere Beispiele:
d) 2x+3 = 2
das ist gleichwertig mit 2x+3=9 (weil 9 mod 7 = 2)
beidseitig 3 subtrahieren ergibt 2x=6
halbiert: x=3 . Dass die Lösung eindeutig ist,
kann man auch durch Einsetzenaller 7 möglichen
x-Werte 0,1,2,3,4,5,6 und ausrechnen von (2x+3) mod 7
überprüfen.
e) [mm]x^{2}[/mm] = 5
einfach alle Quadrate mod 7 tabellieren!
[mm]x[/mm] 0 1 2 3 4 5 6
[mm] x^2 [/mm] 0 1 4 2 2 4 1
[mm] x^2 [/mm] = 5 ist also offenbar modulo 7 unmöglich ! Lösungsmenge = {}
Gruß al-Ch.
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Hallo, danke für die schnelle Antwort.
eine Frage zu [mm] x^{6} [/mm] = 1 mod 7 hätt ich noch. Diese Beispiel könnt ich dann auch über den Satz von Euler Fermat rechnen da das für alle x wo ggT(7,x) =1 ist mit [mm] x^{phi(7)} [/mm] = 1 mod 7 ergibt?
lg tom
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Hallo original_tom,
> Hallo, danke für die schnelle Antwort.
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> eine Frage zu [mm]x^{6}[/mm] = 1 mod 7 hätt ich noch. Diese Beispiel
> könnt ich dann auch über den Satz von Euler Fermat rechnen
> da das für alle x wo ggT(7,x) =1 ist mit [mm]x^{phi(7)}[/mm] = 1 mod
> 7 ergibt?
Und [mm]\phi\left(7\right)[/mm] ist 7-1=6.
Demach gilt das für alle Zahlen mit ggT(7,x)=1.
>
> lg tom
Gruß
MathePower
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