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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:11 So 09.11.2008 | | Autor: | mangaka |
| Aufgabe | a)
Zeigen oder widerlegen Sie:
Seien [mm]A,B,C,D,E \in GL(n, \IR)[/mm].
Falls [mm]D^{-1} (A+B+C) D = E[/mm] gilt, so ist [mm]A=E-B-C[/mm]
b)
Seien [mm]A, B \in K_{n,n} und A \in GL(n,K)[/mm]. Zeigen Sie:
[mm](A+B) A^{-1} (A-B) = (A-B) A^{-1} (A+B)[/mm] |
hi,
ich bin's mal wieder. hab wie immer ein paar fragen mitgebracht:
zu a)
angeblich soll die aussage tatsächlich gelten. ein tipp war, mit etwas passendem von links und rechts zu multiplizieren. aber egal was ich mache, ich bekomm's nicht hin.
ist die aussage wirklich wahr? wenn ja, brauche ich mehr tipps :D
zu b)
wofuer steht [mm] K_{n,n}. [/mm] das K bezeichnet normalerweise den körper, aber was soll "n,n"?
auch hier bräuchte ich paar tipps *ganz lieb guck*
mfg
mangaka
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> a)
> Zeigen oder widerlegen Sie:
> Seien [mm]A,B,C,D,E \in GL(n, \IR)[/mm].
> Falls [mm]D^{-1} (A+B+C) D = E[/mm]
> gilt, so ist [mm]A=E-B-C[/mm]
>
> b)
> Seien [mm]A, B \in K_{n,n} und A \in GL(n,K)[/mm]. Zeigen Sie:
> [mm](A+B) A^{-1} (A-B) = (A-B) A^{-1} (A+B)[/mm]
> hi,
> ich bin's mal wieder. hab wie immer ein paar fragen
> mitgebracht:
>
> zu a)
> angeblich soll die aussage tatsächlich gelten. ein tipp
> war, mit etwas passendem von links und rechts zu
> multiplizieren. aber egal was ich mache, ich bekomm's nicht
> hin.
hallo mangaka,
was genau ist mit [mm] GL(n,\IR) [/mm] gemeint ?
zu a):
links mit D und rechts mit [mm] D^{-1} [/mm] multiplizieren führt auf
[mm] A+B+C=D*E*D^{-1}
[/mm]
Jetzt fragt es sich, ob man [mm] D*E*D^{-1} [/mm] durch E ersetzen kann.
Falls die Multiplikation kommutativ ist, ist dies der Fall,
denn dann gilt:
[mm] D*E*D^{-1}=D*(E*D^{-1})=D*(D^{-1}*E)=(D*D^{-1})*E=1*E=E
[/mm]
Dann hätte man also A+B+C=E und A=E-B-C
Ich habe rasch nachgeschaut, was [mm] GL(n,\IR) [/mm] sein könnte und
bin auch fündig geworden: GL=General Linear Group.
Und:
"Für [mm] n\ge [/mm] 2 ist die Gruppe GL(n,K) nicht abelsch."
Abelsch heisst kommutativ.
Vermutlich ist also die Aussage von a) doch falsch.
Gruß
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 So 09.11.2008 | | Autor: | mangaka |
> hallo mangaka,
>
> was genau ist mit [mm]GL(n,\IR)[/mm] gemeint ?
>
> zu a):
>
> links mit D und rechts mit [mm]D^{-1}[/mm] multiplizieren führt auf
>
> [mm]A+B+C=D*E*D^{-1}[/mm]
>
> Jetzt fragt es sich, ob man [mm]D*E*D^{-1}[/mm] durch E ersetzen
> kann.
>
> Falls die Multiplikation kommutativ ist, ist dies der Fall,
> denn dann gilt:
>
> [mm]D*E*D^{-1}=D*(E*D^{-1})=D*(D^{-1}*E)=(D*D^{-1})*E=1*E=E[/mm]
>
> Dann hätte man also A+B+C=E und A=E-B-C
>
>
> Ich habe rasch nachgeschaut, was [mm]GL(n,\IR)[/mm] sein könnte und
> bin auch fündig geworden: GL=General Linear Group.
> Und:
>
> "Für [mm]n\ge[/mm] 2 ist die Gruppe GL(n,K) nicht abelsch."
>
> Abelsch heisst kommutativ.
> Vermutlich ist also die Aussage von a) doch falsch.
>
> Gruß
$ [mm] GL(n,\IR) [/mm] $ heisst, dass die matrizen invertierbar sind.
wie du schon sagst, kann man hier schlecht das kommutativgesetz anwenden :D
soll ich nun eine fallunterscheidung machen? für n<2 funktioniert es, wegen der kommutativität und für n>=2 net, weil sie ab dann keine abelsche gruppen sind?
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Es ist natürlich gut, und für eine vollständige Antwort
auch notwendig, dass du den (an sich ja sonst
nicht so wahnsinnig interessanten) Spezialfall n=1
speziell erwähnst.
Um zu zeigen, dass es für [mm] n\ge [/mm] 2 wirklich nicht klappt
(was aus meinen früheren Bemerkungen noch nicht
hervorgeht), wäre es sinnvoll, ein Gegenbeispiel
anzugeben. Wähle für A,B,C,D,E irgendwelche
einfachen [mm] 2\times{2} [/mm] - Matrizen (natürlich nicht gerade die Null-
oder Eins-Matrix !) und zeige, dass das Beispiel die
Gleichung nicht erfüllt. Dass diese dann in höheren
Dimensionen auch nicht allgemein gültig sein kann,
ist leicht zu zeigen, denn der [mm] \IR^n [/mm] (n>2) enthält ja den
[mm] \IR^2 [/mm] als Unterraum.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 So 09.11.2008 | | Autor: | mangaka |
ok, danke.
hab noch ne frage, die nichts mit den beiden aufgaben zu tun hat...
es geht darum, einer menge von matrizen nachzuweisen, dass sie einen ring bilden. die elemente stammen aus [mm] $\IZ_{2}$.
[/mm]
es wird darauf hingewiesen, dass [mm] $\IZ_{2}$ [/mm] ein körper ist.
eine möglichkeit nachzuweisen, dass es sich bei den matrizen um einen ring handelt ist, nachzurechnen und zu zeigen, dass unter addition die abelsche gruppe geben ist, unter multiplikation ein monoid und dass das distributivgesetz gilt. aber ich glaub das wäre zu viel arbeit.
es geht doch wohl einfacher, oder?
mfg
mangaka
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 So 09.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo mangaka!
> hab noch ne frage, die nichts mit den beiden aufgaben zu
> tun hat...
Dann eröffne doch bitte einen neuen Thread!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 So 09.11.2008 | | Autor: | mangaka |
ist glaub' ich nötig. ich glaub, ich hab die antwort bereits.
um die addition muss ich mich gar net kümmern, da die sowieso komponentenweise erfolgt. da die elemete aus [mm] $\IZ_{2}$ [/mm] einem körper angehören muss die die addition abelsch sein...
bleibt nur noch der rest...
und leute wie sieht's mit b) aus :D
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> wie sieht's mit b) aus :D
da kannst du einfach beide Seiten komplett ausmultiplizieren
(Vorsicht: nicht kommutativ !) und mittels [mm] A*A^{-1}=I
[/mm]
vereinfachen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 So 09.11.2008 | | Autor: | mangaka |
soll $I$ die einheitsmatrix sein?
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Ja, I soll die Einheitsmatrix sein.
(Falls Du noch on bist, Al-Chwarizmi, pardon!)
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